0, 1, 2, 3 の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、合計8枚ある。この8枚のカードから3枚を選んで3桁の整数を作る。ただし、同じ数字のカードは区別できないとする。 (1) 0を使わない3桁の整数は何個作れるか？ (2) 0を使う3桁の整数は何個作れるか？ (3) 3桁の整数は何個作れるか？

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3 の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、合計8枚ある。この8枚のカードから3枚を選んで3桁の整数を作る。ただし、同じ数字のカードは区別できないとする。

(1) 0を使わない3桁の整数は何個作れるか？

(2) 0を使う3桁の整数は何個作れるか？

(3) 3桁の整数は何個作れるか？

2. 解き方の手順

(1) 0を使わない場合:

使うことができる数字は 1, 2, 3 のみである。

i) 全て異なる数字の場合: 3つの数字から3つを選び並べる順列なので、$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

ii) 2枚同じ数字、1枚違う数字の場合: 同じ数字を1,2,3から1つ選び(3通り)、残りの2つの数字から異なる数字を1つ選ぶ(2通り)。並べ方は $3!/2! = 3$ 通り。よって、$3 \times 2 \times 3 = 18$ 通り。

合計: $6 + 18 = 24$ 通り。

(2) 0を使う場合:

i) 0が1枚、他の2つの数字が異なる場合: 100の位は0以外の数字(1,2,3)から選び(3通り)、10の位、1の位は残りの2つの数字から選ぶ順列なので、$3 \times 2 = 6$通り。従って、$3 \times 6 = 18$通り。

ii) 0が1枚、他の2つの数字が同じ場合: 100の位は0以外の数字(1,2,3)から選び(3通り)。10の位と1の位は同じ数字(1,2,3)から選び、100の位と異なる数字なので、2通り。従って、$3 \times 2 = 6$ 通り。

iii) 0が2枚の場合: 100の位は0以外の数字(1,2,3)から選び(3通り)。0,0,X という並び方なので、100の位にXを置き、残りの2つの位に0,0を置くという並べ方は1通りしかない。よって、3通り。

合計: $18 + 6 + 3 = 27$ 通り。

(3) 3桁の整数:

(1)と(2)の場合を足せばよい。

$24 + 27 = 51$ 通り。

別の考え方：

i) 全て異なる数字の場合: 100の位は0以外の数字(1,2,3)から選び(3通り)。10の位は残りの3つの数字から選び(3通り)、1の位は残りの2つの数字から選ぶ(2通り)。従って、$3 \times 3 \times 2 = 18$ 通り。

ii) 2枚同じ数字、1枚違う数字の場合:

同じ数字が0でない場合: 100の位に同じ数字を置く場合、1,2,3から1つ選び(3通り)、10の位、1の位には同じ数字ではない数字から選ぶ(3通り)。$3 \times 3 = 9$ 通り。

同じ数字が0の場合: 100の位は0以外の数字(1,2,3)から選び(3通り)。10の位、1の位は0。従って、3通り。

$9 + 3 = 12$ 通り。

iii) 3枚とも同じ数字の場合: 存在しない。

合計: $18 + 9+3+3 = 18+12 = 30+9+0 = 51$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 24個

(2) 27個

(3) 51個