9人の生徒を2人, 3人, 4人の3つのグループに分ける問題を解きます。 (1) 美術部の3人だけで3人のグループを作り、残りの6人から2人を選ぶ場合の数を求めます。 (2) 9人を2人, 3人, 4人のグループに分ける分け方の総数を求めます。さらに、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方の総数を求めます。

1. 問題の内容

9人の生徒を2人, 3人, 4人の3つのグループに分ける問題を解きます。

(1) 美術部の3人だけで3人のグループを作り、残りの6人から2人を選ぶ場合の数を求めます。

(2) 9人を2人, 3人, 4人のグループに分ける分け方の総数を求めます。さらに、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 美術部の3人だけで3人のグループを作る方法は1通りです。残りの6人から2人を選ぶ方法は、組み合わせの公式を使って計算します。

組み合わせの公式は、$nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

6人から2人を選ぶ組み合わせは、$6C2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

(2) 9人を2人, 3人, 4人のグループに分ける分け方の総数を求めます。まず9人から2人を選び、次に残りの7人から3人を選び、最後に残りの4人から4人を選びます。そして、3人, 4人グループの区別がないので2!で割ります。

$9C2 = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

$7C3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$4C4 = \frac{4!}{4!0!} = 1$

したがって、分け方の総数は $\frac{36 \times 35 \times 1}{1} = 1260$通りです。

次に、各グループに美術部の部員が1人ずつ入る場合の数を求めます。まず、美術部の3人をそれぞれ2人, 3人, 4人のグループに割り振る方法は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

次に、残りの6人からグループ分けします。

・美術部員が入った2人のグループには、残り6人から1人を選ぶので$6C1=6$通り

・美術部員が入った3人のグループには、残り5人から2人を選ぶので$5C2= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り

・美術部員が入った4人のグループには、残り3人から3人を選ぶので$3C3= 1$通り

したがって、各グループに美術部員が1人ずつ入る分け方は、$6 \times 6 \times 10 \times 1 = 360$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) グループの分け方は1260通り。各グループに美術部の部員が1人ずつ入る分け方は360通り。