分母が偶数で分子が奇数である分数で、$0$ より大きく $1$ より小さいものを並べた数列について、以下の問いに答えます。 (1) 第70項を求める。 (2) 初項から第70項までの和を求める。

1. 問題の内容

分母が偶数で分子が奇数である分数で、$0$ より大きく $1$ より小さいものを並べた数列について、以下の問いに答えます。

(1) 第70項を求める。

(2) 初項から第70項までの和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第70項を求める。

数列の分母は $2, 4, 6, 8, 10, \dots$ と並んでいます。分母が $2n$ のとき、分子は $1, 3, 5, \dots, (2n-1)$ と並び、項数は $n$ 個です。

第 $n$ 群までの項数の合計を $S_n$ とすると、$S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ となります。

$S_n \le 70$ を満たす最大の $n$ を探します。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 70$

$n(n+1) \le 140$

$n^2 + n - 140 \le 0$

$n$ が整数の場合、$n=11$ のとき $11 \times 12 = 132 \le 140$ 、$n=12$ のとき $12 \times 13 = 156 > 140$ となるため、$n=11$ が最大です。

第11群までの項数は $\frac{11 \times 12}{2} = 66$ なので、第70項は第12群の $(70-66) = 4$ 番目の項です。

第12群の分母は $2 \times 12 = 24$ であり、分子は $1, 3, 5, 7, \dots$ と並んでいます。

第12群の4番目の分子は $2 \times 4 - 1 = 7$ です。したがって、第70項は $\frac{7}{24}$ です。

(2) 初項から第70項までの和を求める。

第$n$群の和を $T_n$ とすると、

$T_n = \frac{1}{2n} + \frac{3}{2n} + \frac{5}{2n} + \dots + \frac{2n-1}{2n} = \frac{1}{2n}(1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1))$

$1$ から $2n-1$ までの奇数の和は $n^2$ なので、

$T_n = \frac{n^2}{2n} = \frac{n}{2}$

初項から第70項までの和は、第1群から第11群までの和と、第12群の最初の4項の和の合計です。

$\sum_{k=1}^{11} T_k = \sum_{k=1}^{11} \frac{k}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{11} k = \frac{1}{2} \cdot \frac{11 \times 12}{2} = \frac{1}{2} \cdot 66 = 33$

第12群の最初の4項の和は、分母が24なので、 $\frac{1}{24} + \frac{3}{24} + \frac{5}{24} + \frac{7}{24} = \frac{1+3+5+7}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$

したがって、初項から第70項までの和は $33 + \frac{2}{3} = \frac{99+2}{3} = \frac{101}{3}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 第70項: $\frac{7}{24}$

(2) 初項から第70項までの和: $\frac{101}{3}$