4x5マスの長方形の方眼紙において、以下の個数を求める問題です。 (1) 長方形（正方形を含む）の個数 (2) 正方形の個数

1. 問題の内容

4x5マスの長方形の方眼紙において、以下の個数を求める問題です。

(1) 長方形（正方形を含む）の個数

(2) 正方形の個数

2. 解き方の手順

(1) 長方形の個数

長方形は、縦の2本の線と横の2本の線を選択することで一意に決まります。

縦方向に線は5本、横方向に線は6本あります。

したがって、長方形の個数は、縦の2本の線の選び方と横の2本の線の選び方の積で計算できます。

縦の線の選び方は ${}_5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

横の線の選び方は ${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

したがって、長方形の個数は $10 \times 15 = 150$ 個です。

(2) 正方形の個数

正方形のサイズごとに個数を数えます。

1x1の正方形: 4x5 = 20個

2x2の正方形: 3x4 = 12個

3x3の正方形: 2x3 = 6個

4x4の正方形: 1x2 = 2個

したがって、正方形の個数は $20 + 12 + 6 + 2 = 40$ 個です。

3. 最終的な答え

(1) 長方形の個数: 150個

(2) 正方形の個数: 40個