以下の3つの曲線について、x軸方向に4、y軸方向に3だけ平行移動した後の曲線の方程式と焦点の座標を求めよ。 (1) 放物線 $y^2 = 20x$ (2) 楕円 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ (3) 双曲線 $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{4} = 1$

はい、承知いたしました。問題文に沿って回答します。

1. 問題の内容

以下の3つの曲線について、x軸方向に4、y軸方向に3だけ平行移動した後の曲線の方程式と焦点の座標を求めよ。

(1) 放物線 $y^2 = 20x$

(2) 楕円 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$

(3) 双曲線 $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{4} = 1$

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y^2 = 20x$

* 平行移動後の式：$x$ を $x-4$ に、$y$ を $y-3$ に置き換える。

$(y-3)^2 = 20(x-4)$

* 元の放物線の焦点：$y^2 = 4px$ と比較して、$4p = 20$ より $p = 5$。焦点は $(5, 0)$。

* 平行移動後の焦点：元の焦点の座標にそれぞれ4と3を足す。$(5+4, 0+3) = (9, 3)$

(2) 楕円 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$

* 平行移動後の式：$x$ を $x-4$ に、$y$ を $y-3$ に置き換える。

$\frac{(x-4)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{9} = 1$

* 元の楕円の焦点：$a^2 = 25$, $b^2 = 9$ より、$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$。したがって、$c = 4$。焦点は $(\pm 4, 0)$。つまり、 $(4,0)$と$(-4,0)$。

* 平行移動後の焦点：元の焦点の座標にそれぞれ4と3を足す。

$(4+4, 0+3) = (8, 3)$

$(-4+4, 0+3) = (0, 3)$

(3) 双曲線 $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{4} = 1$

* 平行移動後の式：$x$ を $x-4$ に、$y$ を $y-3$ に置き換える。

$\frac{(x-4)^2}{1} - \frac{(y-3)^2}{4} = 1$

* 元の双曲線の焦点：$a^2 = 1$, $b^2 = 4$ より、$c^2 = a^2 + b^2 = 1 + 4 = 5$。したがって、$c = \sqrt{5}$。焦点は $(\pm \sqrt{5}, 0)$。

* 平行移動後の焦点：元の焦点の座標にそれぞれ4と3を足す。

$(\sqrt{5}+4, 0+3) = (4+\sqrt{5}, 3)$

$(-\sqrt{5}+4, 0+3) = (4-\sqrt{5}, 3)$

3. 最終的な答え

(1) 放物線

* 方程式：$(y-3)^2 = 20(x-4)$

* 焦点：$(9, 3)$

(2) 楕円

* 方程式：$\frac{(x-4)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{9} = 1$

* 焦点：$(8, 3)$, $(0, 3)$

(3) 双曲線

* 方程式：$\frac{(x-4)^2}{1} - \frac{(y-3)^2}{4} = 1$

* 焦点：$(4+\sqrt{5}, 3)$, $(4-\sqrt{5}, 3)$