三角形ABCにおいて、外接円の半径をRとするとき、以下の値を求めます。 (1) $b=\sqrt{2}$, $B=45^\circ$のとき、$R$ (2) $A=150^\circ$, $R=4$のとき、$a$ (3) $b=\sqrt{3}$, $R=\sqrt{2}$のとき、$\sin B$ (4) $b=3$, $c=\sqrt{6}$, $B=60^\circ$のとき、$C$ (5) $a=4$, $b=4\sqrt{3}$, $A=30^\circ$のとき、$B$

はい、承知いたしました。三角形ABCに関する問題ですね。各小問について解答します。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、外接円の半径をRとするとき、以下の値を求めます。

(1) $b=\sqrt{2}$, $B=45^\circ$のとき、$R$

(2) $A=150^\circ$, $R=4$のとき、$a$

(3) $b=\sqrt{3}$, $R=\sqrt{2}$のとき、$\sin B$

(4) $b=3$, $c=\sqrt{6}$, $B=60^\circ$のとき、$C$

(5) $a=4$, $b=4\sqrt{3}$, $A=30^\circ$のとき、$B$

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、$\frac{b}{\sin B} = 2R$なので、$R = \frac{b}{2\sin B}$を計算します。

(2) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$なので、$a = 2R\sin A$を計算します。

(3) 正弦定理より、$\frac{b}{\sin B} = 2R$なので、$\sin B = \frac{b}{2R}$を計算します。

(4) 正弦定理より、$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$なので、$\sin C = \frac{c\sin B}{b}$を計算します。その後、$C$を求めます。

(5) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$なので、$\sin B = \frac{b\sin A}{a}$を計算します。その後、$B$を求めます。

3. 最終的な答え

(1)

$R = \frac{\sqrt{2}}{2\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

$R = 1$

(2)

$a = 2 \cdot 4 \cdot \sin 150^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

$a = 4$

(3)

$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\sin B = \frac{\sqrt{6}}{4}$

(4)

$\sin C = \frac{\sqrt{6} \cdot \sin 60^\circ}{3} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$C = 45^\circ$または$C = 135^\circ$

$C = 45^\circ$ または $135^\circ$

(5)

$\sin B = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ}{4} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$B = 60^\circ$または$B = 120^\circ$

$B = 60^\circ$ または $120^\circ$