ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}$ とベクトル $\vec{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{bmatrix}$ の両方に直交する単位ベクトルを求める問題です。

幾何学ベクトル外積単位ベクトル線形代数
2025/6/9

1. 問題の内容

ベクトル a=[243]\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} とベクトル b=[597]\vec{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{bmatrix} の両方に直交する単位ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、a\vec{a}b\vec{b} の両方に直交するベクトルを求めます。これは、a\vec{a}b\vec{b} の外積を計算することで求められます。外積 a×b\vec{a} \times \vec{b} は次のように計算されます。
a×b=[243]×[597]=[(4)(7)(3)(9)(3)(5)(2)(7)(2)(9)(4)(5)]=[282715141820]=[112]\vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (4)(7) - (3)(9) \\ (3)(5) - (2)(7) \\ (2)(9) - (4)(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 28 - 27 \\ 15 - 14 \\ 18 - 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}
次に、求めた外積ベクトルの大きさを計算します。
a×b=(1)2+(1)2+(2)2=1+1+4=6|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}
最後に、外積ベクトルをその大きさで割って、単位ベクトルを求めます。
u=a×ba×b=16[112]=[161626]\vec{u} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}
また、単位ベクトルの向きが逆のベクトルも解となるので、
v=a×ba×b=16[112]=[161626]\vec{v} = - \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = -\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

[161626]\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}[161626]\begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}

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