ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}$ とベクトル $\vec{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{bmatrix}$ の両方に直交する単位ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}$ とベクトル $\vec{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{bmatrix}$ の両方に直交する単位ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交するベクトルを求めます。これは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算することで求められます。外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ は次のように計算されます。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (4)(7) - (3)(9) \\ (3)(5) - (2)(7) \\ (2)(9) - (4)(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 28 - 27 \\ 15 - 14 \\ 18 - 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$

次に、求めた外積ベクトルの大きさを計算します。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

最後に、外積ベクトルをその大きさで割って、単位ベクトルを求めます。

$\vec{u} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$

また、単位ベクトルの向きが逆のベクトルも解となるので、

$\vec{v} = - \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = -\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$