図において、直線 $l$ は円Oと円O'の接線であり、円Oの半径は6、円O'の半径は2です。線分ABの長さ$x$を求めます。

## (1) の問題

1. 問題の内容

図において、直線 $l$ は円Oと円O'の接線であり、円Oの半径は6、円O'の半径は2です。線分ABの長さ$x$を求めます。

2. 解き方の手順

まず、円Oの中心Oから直線$l$に垂線を下ろし、その足を点Cとします。同様に、円O'の中心O'から直線$l$に垂線を下ろし、その足を点Dとします。すると、四角形CO'ODは台形となります。

次に、点O'から線分OCに垂線を下ろし、その足を点Eとします。

すると、三角形OO'Eは直角三角形になります。

$OO' = 6 + 2 = 8$

$OE = OC - EC = OC - O'D = 6 - 2 = 4$

三平方の定理より、$OO'^2 = OE^2 + O'E^2$なので、

$O'E^2 = OO'^2 - OE^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$

$O'E = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

$O'E = CD = x$ なので、$x = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$x = 4\sqrt{3}$

## (2) の問題

1. 問題の内容

図において、直線ABは円の接線であり、$AB = 6$, $AC = 4$である。$CD = x$の値を求める。

2. 解き方の手順

円の接線に関する方べきの定理を利用する。

点Aから円に対して、接線ABと割線ACDを引くとき、以下の関係が成り立つ。

$AB^2 = AC \cdot AD$

$AB = 6$, $AC = 4$, $AD = AC + CD = 4 + x$を代入する。

$6^2 = 4 \cdot (4 + x)$

$36 = 16 + 4x$

$4x = 36 - 16 = 20$

$x = 20 / 4 = 5$

3. 最終的な答え

$x = 5$