$\triangle OAB$において、辺$AB$を$2:3$に内分する点を$L$、辺$OA$の中点を$M$とする。線分$OL$と線分$BM$の交点を$P$とするとき、$BP:PM$の比を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$AB$を$2:3$に内分する点を$L$、辺$OA$の中点を$M$とする。線分$OL$と線分$BM$の交点を$P$とするとき、$BP:PM$の比を求めよ。

2. 解き方の手順

線分$OL$と線分$BM$の交点$P$の位置ベクトルを求め、比を計算する。

まず、$P$は線分$OL$上にあるので、$OP = k OL$（$k$は実数）とおける。

また、$L$は$AB$を$2:3$に内分する点なので、$OL = \frac{3OA + 2OB}{5}$となる。

よって、$OP = k \frac{3OA + 2OB}{5} = \frac{3k}{5}OA + \frac{2k}{5}OB$

次に、$P$は線分$BM$上にあるので、$OP = sOB + (1-s)OM$（$s$は実数）とおける。

また、$M$は$OA$の中点なので、$OM = \frac{1}{2}OA$となる。

よって、$OP = sOB + (1-s)\frac{1}{2}OA = \frac{1-s}{2}OA + sOB$

$OA$と$OB$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{3k}{5} = \frac{1-s}{2}$

$\frac{2k}{5} = s$

この連立方程式を解く。

$\frac{3k}{5} = \frac{1 - \frac{2k}{5}}{2}$

$\frac{6k}{5} = 1 - \frac{2k}{5}$

$\frac{8k}{5} = 1$

$k = \frac{5}{8}$

$s = \frac{2k}{5} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{1}{4}$

したがって、$OP = \frac{1}{4}OB + \frac{3}{4}OM$であるから、$P$は$BM$を$3:1$に内分する点である。

よって、$BP:PM = 3:1$

3. 最終的な答え

BP:PM = 3:1