ベクトル $\vec{a} = (3, 2, -2)$ とベクトル $\vec{b} = (1, 3, 4)$ の両方に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, 2, -2)$ とベクトル $\vec{b} = (1, 3, 4)$ の両方に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めるために、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(4) - (-2)(3) \\ (-2)(1) - (3)(4) \\ (3)(3) - (2)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 + 6 \\ -2 - 12 \\ 9 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ -14 \\ 7 \end{pmatrix}$

次に、得られたベクトル $\vec{a} \times \vec{b} = (14, -14, 7)$ の大きさを計算します。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{14^2 + (-14)^2 + 7^2} = \sqrt{196 + 196 + 49} = \sqrt{441} = 21$

単位ベクトル $\vec{e}$ は、$\vec{a} \times \vec{b}$ をその大きさで割ることによって得られます。したがって、

$\vec{e} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{1}{21} \begin{pmatrix} 14 \\ -14 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{14}{21} \\ \frac{-14}{21} \\ \frac{7}{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

また、符号が逆の単位ベクトルも解となります。

$\vec{e} = - \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = -\frac{1}{21} \begin{pmatrix} 14 \\ -14 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{14}{21} \\ \frac{14}{21} \\ -\frac{7}{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\vec{e} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}$ または $\vec{e} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$