ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}$ とベクトル $\vec{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{bmatrix}$ の両方に直交する単位ベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}$ とベクトル $\vec{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{bmatrix}$ の両方に直交する単位ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算して、両方に直交するベクトルを求める。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (4)(7) - (3)(9) \\ (3)(5) - (2)(7) \\ (2)(9) - (4)(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 28 - 27 \\ 15 - 14 \\ 18 - 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$

次に、得られたベクトルの大きさを計算する。

$||\vec{a} \times \vec{b}|| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

最後に、$\vec{a} \times \vec{b}$ をその大きさで割って、単位ベクトルを求める。

また、逆向きのベクトルも解となる。

$\vec{u} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{||\vec{a} \times \vec{b}||} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$

単位ベクトルは $\pm \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$ となる。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$

または

$\pm \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{6}}{6} \\ -\frac{\sqrt{6}}{3} \end{bmatrix}$