2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 4$ と $C_2: (x-4)^2 + y^2 = 1$ にともに接する直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 4$ と $C_2: (x-4)^2 + y^2 = 1$ にともに接する直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

$C_1$ は中心が原点 $(0,0)$、半径が $2$ の円であり、$C_2$ は中心が $(4,0)$、半径が $1$ の円である。

求める直線を $y = mx + n$ とおく。

直線 $y = mx + n$ が円 $C_1$ に接するための条件は、原点 $(0,0)$ と直線 $mx - y + n = 0$ との距離が $2$ であることである。

距離の公式より、

$\frac{|m(0) - 0 + n|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$

$|n| = 2\sqrt{m^2 + 1}$

$n^2 = 4(m^2 + 1)$

直線 $y = mx + n$ が円 $C_2$ に接するための条件は、点 $(4,0)$ と直線 $mx - y + n = 0$ との距離が $1$ であることである。

距離の公式より、

$\frac{|m(4) - 0 + n|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$

$|4m + n| = \sqrt{m^2 + 1}$

$(4m + n)^2 = m^2 + 1$

$16m^2 + 8mn + n^2 = m^2 + 1$

$n^2 = 4m^2 + 4$ を $16m^2 + 8mn + n^2 = m^2 + 1$ に代入すると、

$16m^2 + 8mn + 4m^2 + 4 = m^2 + 1$

$19m^2 + 8mn + 3 = 0$

$n = \frac{-19m^2 - 3}{8m}$

$n^2 = 4m^2 + 4$ に代入すると、

$(\frac{-19m^2 - 3}{8m})^2 = 4m^2 + 4$

$\frac{361m^4 + 114m^2 + 9}{64m^2} = 4m^2 + 4$

$361m^4 + 114m^2 + 9 = 256m^4 + 256m^2$

$105m^4 - 142m^2 + 9 = 0$

$(15m^2 - 1)(7m^2 - 9) = 0$

$m^2 = \frac{1}{15}$ または $m^2 = \frac{9}{7}$

(i) $m^2 = \frac{1}{15}$ のとき $m = \pm \frac{1}{\sqrt{15}}$

$n^2 = 4(\frac{1}{15} + 1) = 4 \cdot \frac{16}{15} = \frac{64}{15}$

$n = \pm \frac{8}{\sqrt{15}}$

$4m+n = \pm (\frac{4}{\sqrt{15}}+\frac{8}{\sqrt{15}}) = \pm \frac{12}{\sqrt{15}}$

$\sqrt{m^2+1} = \sqrt{\frac{1}{15}+1} = \sqrt{\frac{16}{15}} = \frac{4}{\sqrt{15}}$

$4m+n$ の絶対値は$\sqrt{m^2+1}$ に等しくないので、この場合は解ではない。

(ii) $m^2 = \frac{9}{7}$ のとき $m = \pm \frac{3}{\sqrt{7}}$

$n^2 = 4(\frac{9}{7} + 1) = 4 \cdot \frac{16}{7} = \frac{64}{7}$

$n = \pm \frac{8}{\sqrt{7}}$

直線 $C_1$ と $C_2$ の位置関係から考えて、2円に接する直線は以下のようになる。

$y = \pm \frac{3}{\sqrt{7}} x \pm \frac{8}{\sqrt{7}}$

$y = 3$または $y = 12$ のとき、$n^2 \neq 4(m^2+1)$なので不適。

接線は $3x \pm y - 12 = 0$ となる。

$3x+4y=12$

$3x -4y=12$

平行な接線は$x=2$

3. 最終的な答え

$3x + \sqrt{7}y = 12$

$3x - \sqrt{7}y = 12$

$y = 0$