一辺の長さが6の正方形ABCDがある。点Pが毎秒2の速さで頂点Bを出発し、C, Dを通ってAまで進む。点PがBを出発してx秒後のAPの長さの2乗をyとする。 (1) yをxの関数として表せ。 (2) (1)の関数のグラフをかけ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の正方形ABCDがある。点Pが毎秒2の速さで頂点Bを出発し、C, Dを通ってAまで進む。点PがBを出発してx秒後のAPの長さの2乗をyとする。

(1) yをxの関数として表せ。

(2) (1)の関数のグラフをかけ。

2. 解き方の手順

(1) yをxの関数として表す。

点Pの位置によって場合分けを行います。

(i) $0 \le x \le 3$ のとき: 点Pは辺BC上にあります。

このとき、$BP = 2x$ なので、$CP = 6 - 2x$ となります。

三平方の定理より、

$AP^2 = AB^2 + BP^2 = 6^2 + (6 - 2x)^2 = 36 + 36 - 24x + 4x^2 = 4x^2 - 24x + 72$.

よって、$y = 4x^2 - 24x + 72$.

(ii) $3 \le x \le 6$ のとき: 点Pは辺CD上にあります。

このとき、$CP = 2x - 6$ なので、$DP = 6 - (2x - 6) = 12 - 2x$となります。

三平方の定理より、

$AP^2 = AD^2 + DP^2 = 6^2 + (12 - 2x)^2 = 36 + 144 - 48x + 4x^2 = 4x^2 - 48x + 180$.

よって、$y = 4x^2 - 48x + 180$.

(iii) $6 \le x \le 9$ のとき: 点Pは辺DA上にあります。

このとき、$DP = 2x - 12$ なので、$AP = 6 - (2x - 12) = 18 - 2x$ となります。

よって、$y = (18 - 2x)^2 = 4x^2 - 72x + 324$.

したがって、

$y = \begin{cases} 4x^2 - 24x + 72 & (0 \le x \le 3) \\ 4x^2 - 48x + 180 & (3 \le x \le 6) \\ 4x^2 - 72x + 324 & (6 \le x \le 9) \end{cases}$

(2) (1)の関数のグラフをかく。

(i) $0 \le x \le 3$ のとき、$y = 4(x - 3)^2 + 36$。 頂点は$(3, 36)$。

(ii) $3 \le x \le 6$ のとき、$y = 4(x - 6)^2 + 36$。 頂点は$(6, 36)$。

(iii) $6 \le x \le 9$ のとき、$y = 4(x - 9)^2 + 36$。 頂点は$(9, 36)$。

3. 最終的な答え

(1)

$y = \begin{cases} 4x^2 - 24x + 72 & (0 \le x \le 3) \\ 4x^2 - 48x + 180 & (3 \le x \le 6) \\ 4x^2 - 72x + 324 & (6 \le x \le 9) \end{cases}$

(2) グラフは省略します。上記を参考にグラフを作成してください。