問題は、円と直線に関するいくつかの穴埋め問題です。具体的には、以下の内容を答える必要があります。 - 2直線の位置関係 - 点と直線の距離 - 円の方程式 - 円と直線の共有点 - 円の接線の方程式

1. 問題の内容

問題は、円と直線に関するいくつかの穴埋め問題です。具体的には、以下の内容を答える必要があります。

- 2直線の位置関係

- 点と直線の距離

- 円の方程式

- 円と直線の共有点

- 円の接線の方程式

2. 解き方の手順

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1. 2直線の位置関係**

(1) $4x - 3y = 0$ と $x - 2y - 4 = 0$

一方の式を $y$ について解くと、$y = \frac{4}{3}x$ と $y = \frac{1}{2}x - 2$.

傾きが異なるので、1点で交わります。

(2) $4x - 2y + 5 = 0$ と $y = 2(x-1) = 2x - 2$

一方の式を $y$ について解くと、$y = 2x + \frac{5}{2}$ と $y = 2x - 2$.

傾きが同じで、切片が異なるので、平行です。

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2. 点と直線の距離**

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の式で計算できます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

直線の方程式は $4x - 3y - 5 = 0$ です。

(1) 点 $(-1, 2)$ の場合、$d = \frac{|4(-1) - 3(2) - 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|-4 - 6 - 5|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{15}{5} = 3$

(2) 点 $(3, -5)$ の場合、$d = \frac{|4(3) - 3(-5) - 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 + 15 - 5|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{22}{5}$

(3) 原点 $(0, 0)$ の場合、$d = \frac{|4(0) - 3(0) - 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{5}{5} = 1$

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3. 円の方程式**

(1) 中心 $(1, 2)$, 半径 $5$ の円の方程式は、$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2 = 25$

(2) 中心が原点、半径 $2$ の円の方程式は、$x^2 + y^2 = 2^2 = 4$

(3) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = x$ の共有点の座標は、連立方程式を解いて求めます。

$x^2 + x^2 = 8$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

$y = x$ より、$x = 2$ のとき $y = 2$, $x = -2$ のとき $y = -2$.

共有点の座標は $(2, 2)$ と $(-2, -2)$ です。

(4) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = x + 4$ の共有点の座標は、連立方程式を解いて求めます。

$x^2 + (x + 4)^2 = 8$

$x^2 + x^2 + 8x + 16 = 8$

$2x^2 + 8x + 8 = 0$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x + 2)^2 = 0$

$x = -2$

$y = x + 4 = -2 + 4 = 2$

共有点の座標は $(-2, 2)$ です。共有点の個数は1個です。

共有点の個数が1個のとき、円と直線は接するという。

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4. 円の接線の方程式**

(1) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、$x_1x + y_1y = r^2$ と表されます。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 25$ 上の点 $(3, 4)$ における接線の方程式は、$3x + 4y = 25$ と表されます。

(3) 円 $x^2 + y^2 = 13$ 上の点 $(-3, 2)$ における接線の方程式は、$-3x + 2y = 13$ と表されます。

3. 最終的な答え

1.

(1) 1点で交わる

(2) 平行である

2.

(1) 3

(2) $\frac{22}{5}$

(3) 1

3.

1: 2

2: 2

3: 25

4: 4

5: 2, 2

6: -2, -2

7: -2, 2

8: 接する

4.

1: $y_1y$

2: $r^2$

3: $4y$

4: 25

5: $-3x + 2y = 13$