点Oを中心とする半径1の円に内接する三角形ABCにおいて、$-5\vec{OA} + 7\vec{OB} + 8\vec{OC} = \vec{0}$が成り立つ。直線OAと直線BCの交点をPとするとき、線分BC, OPの長さを求めよ。さらに三角形ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径1の円に内接する三角形ABCにおいて、$-5\vec{OA} + 7\vec{OB} + 8\vec{OC} = \vec{0}$が成り立つ。直線OAと直線BCの交点をPとするとき、線分BC, OPの長さを求めよ。さらに三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OP}$を$\vec{OA}$で表す。

$-5\vec{OA} + 7\vec{OB} + 8\vec{OC} = \vec{0}$ より、 $7\vec{OB} + 8\vec{OC} = 5\vec{OA}$

$\frac{7\vec{OB} + 8\vec{OC}}{7+8} = \frac{5}{15}\vec{OA} = \frac{1}{3}\vec{OA}$

点Pは直線BC上にあるので、$\vec{OP} = k\vec{OA}$と表せる。

$\vec{OB}$と$\vec{OC}$の係数の和が1になるように変形すると、

$\vec{OP} = \frac{7\vec{OB} + 8\vec{OC}}{15} = \frac{5}{15}\vec{OA} = \frac{1}{3}\vec{OA}$

よって、$\vec{OP} = \frac{1}{3}\vec{OA}$

(2) OPの長さを求める。

$|\vec{OA}| = 1$より、$OP = |\vec{OP}| = \frac{1}{3}|\vec{OA}| = \frac{1}{3}$

(3) BCの長さを求める。

$\vec{OP} = \frac{1}{3}\vec{OA}$ より、点Pは線分OAを1:2に内分する点である。

点Pは直線BC上の点であるから、$BC = \frac{15}{7+8} = 1$である。$|\vec{BC}| = \frac{5}{3}$

$BC = \frac{15}{7+8} = 1$である。$BC=\frac{5}{3}$

(4) $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とおくと、$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos{\angle BOC}$

$|\vec{BC}|^2 = |\vec{OC} - \vec{OB}|^2 = |\vec{c} - \vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{b}|^2$

$BC^2 = 1^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + 1^2$

$\frac{25}{9} = 2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c}$

$2\vec{b} \cdot \vec{c} = 2 - \frac{25}{9} = \frac{18-25}{9} = -\frac{7}{9}$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = -\frac{7}{18}$

$\cos{\angle BOC} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|} = \frac{-\frac{7}{18}}{1 \cdot 1} = -\frac{7}{18}$

$\sin^2{\angle BOC} = 1 - \cos^2{\angle BOC} = 1 - (-\frac{7}{18})^2 = 1 - \frac{49}{324} = \frac{324-49}{324} = \frac{275}{324}$

$\sin{\angle BOC} = \sqrt{\frac{275}{324}} = \frac{5\sqrt{11}}{18}$

三角形OBCの面積は、$\frac{1}{2}|\vec{OB}||\vec{OC}|\sin{\angle BOC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{5\sqrt{11}}{18} = \frac{5\sqrt{11}}{36}$

(5) 三角形ABCの面積を求める。

$OA = 1$, $OP = \frac{1}{3}$より、$AP = OA - OP = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\triangle OBC : \triangle ABC = OP : AP = \frac{1}{3} : \frac{2}{3} = 1:2$

よって、$\triangle ABC = \frac{AP}{OP}\triangle OBC = 2 \triangle OBC = 2 \cdot \frac{5\sqrt{11}}{36} = \frac{5\sqrt{11}}{18}$

3. 最終的な答え

BC = $\frac{5}{3}$

OP = $\frac{1}{3}$

三角形ABCの面積 = $\frac{5\sqrt{11}}{18}$