$\alpha$ が鋭角、$\beta$ が鈍角であり、$\cos\alpha = \frac{1}{4}$、$\sin\beta = \frac{2}{3}$ であるとき、$\sin(\alpha - \beta)$ と $\cos(\alpha - \beta)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\alpha$ が鋭角、$\beta$ が鈍角であり、$\cos\alpha = \frac{1}{4}$、$\sin\beta = \frac{2}{3}$ であるとき、$\sin(\alpha - \beta)$ と $\cos(\alpha - \beta)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\alpha$ と $\cos\beta$ の値を求めます。$\alpha$ は鋭角なので、$\sin\alpha > 0$ であり、$\beta$ は鈍角なので、$\cos\beta < 0$ です。

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より、

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

よって、$\sin\alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ より、

$\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

よって、$\cos\beta = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\sin(\alpha - \beta)$ と $\cos(\alpha - \beta)$ の加法定理を用います。

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta = \frac{\sqrt{15}}{4}(-\frac{\sqrt{5}}{3}) - \frac{1}{4}(\frac{2}{3}) = -\frac{\sqrt{75}}{12} - \frac{2}{12} = -\frac{5\sqrt{3}}{12} - \frac{2}{12} = -\frac{5\sqrt{3} + 2}{12}$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{4}(-\frac{\sqrt{5}}{3}) + \frac{\sqrt{15}}{4}(\frac{2}{3}) = -\frac{\sqrt{5}}{12} + \frac{2\sqrt{15}}{12} = \frac{2\sqrt{15} - \sqrt{5}}{12}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha - \beta) = -\frac{5\sqrt{3} + 2}{12}$

$\cos(\alpha - \beta) = \frac{2\sqrt{15} - \sqrt{5}}{12}$