点A(-1, 0)からの距離と点B(3, 0)からの距離の比が1:3である点Pの軌跡を求める。

1. 問題の内容

点A(-1, 0)からの距離と点B(3, 0)からの距離の比が1:3である点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とする。

点A(-1, 0)と点P(x, y)の距離は、

$PA = \sqrt{(x - (-1))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + y^2}$

点B(3, 0)と点P(x, y)の距離は、

$PB = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + y^2}$

条件より、PA : PB = 1 : 3であるから、

$3PA = PB$

$3\sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$9((x + 1)^2 + y^2) = (x - 3)^2 + y^2$

$9(x^2 + 2x + 1 + y^2) = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$9x^2 + 18x + 9 + 9y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$8x^2 + 24x + 8y^2 = 0$

$x^2 + 3x + y^2 = 0$

$x^2 + 3x + (\frac{3}{2})^2 + y^2 = (\frac{3}{2})^2$

$(x + \frac{3}{2})^2 + y^2 = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

$(x + \frac{3}{2})^2 + y^2 = \frac{9}{4}$

中心$(-\frac{3}{2}, 0)$, 半径$\frac{3}{2}$の円