点A(-1, 0)からの距離と点B(3, 0)からの距離の比が1:3である点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(-1, 0)からの距離と点B(3, 0)からの距離の比が1:3である点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とします。点A(-1, 0)と点B(3, 0)からの距離をそれぞれPA、PBとすると、問題の条件より、PA:PB = 1:3、つまり3PA = PBとなります。

PAとPBをそれぞれx, yで表し、3PA = PBに代入して軌跡の方程式を求めます。

まず、PAは

$PA = \sqrt{(x - (-1))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + y^2}$

PBは

$PB = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + y^2}$

となります。

3PA = PBに代入すると、

$3\sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$9((x + 1)^2 + y^2) = (x - 3)^2 + y^2$

$9(x^2 + 2x + 1 + y^2) = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$9x^2 + 18x + 9 + 9y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$8x^2 + 24x + 8y^2 = 0$

$x^2 + 3x + y^2 = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + y^2 = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 + y^2 = (\frac{3}{2})^2$

3. 最終的な答え

求める軌跡は、中心が$(-\frac{3}{2}, 0)$、半径が$\frac{3}{2}$の円です。

$(x + \frac{3}{2})^2 + y^2 = (\frac{3}{2})^2$