AB = AC = 8, BC = 4 の二等辺三角形 ABC が円 P に外接している。網掛け部分の面積を求める問題。

1. 問題の内容

AB = AC = 8, BC = 4 の二等辺三角形 ABC が円 P に外接している。網掛け部分の面積を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、三角形 ABC の面積を求める。次に、内接円 P の面積を求める。最後に、網掛け部分の面積は、三角形 ABC の面積から内接円 P の面積を引いたものである。

(1) 三角形 ABC の面積を求める。

三角形の高さを $h$ とする。BC の中点を M とすると、AM は高さになる。

$BM = MC = 2$ であり、三角形 ABM は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、

$AM^2 + BM^2 = AB^2$

$h^2 + 2^2 = 8^2$

$h^2 + 4 = 64$

$h^2 = 60$

$h = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$

三角形 ABC の面積は、

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{15} = 4\sqrt{15}$

(2) 内接円 P の半径を求める。

三角形 ABC の面積を S, 内接円の半径を r, 辺の長さを a, b, c とすると、

$S = \frac{1}{2}r(a + b + c)$

$4\sqrt{15} = \frac{1}{2}r(8 + 8 + 4)$

$4\sqrt{15} = \frac{1}{2}r(20)$

$4\sqrt{15} = 10r$

$r = \frac{4\sqrt{15}}{10} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$

(3) 内接円 P の面積を求める。

$S_{P} = \pi r^2 = \pi (\frac{2\sqrt{15}}{5})^2 = \pi \frac{4 \times 15}{25} = \frac{60\pi}{25} = \frac{12\pi}{5}$

(4) 網掛け部分の面積を求める。

網掛け部分の面積は、三角形 ABC の面積から内接円 P の面積を引いたものである。

$S_{網掛け} = S_{ABC} - S_{P} = 4\sqrt{15} - \frac{12\pi}{5}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{15} - \frac{12}{5}\pi$