問題は以下の3つです。 (1) $\frac{\tan 3\theta}{\tan \theta}$ を $d = \cos^2 \theta$ を用いて表す。 (2) $\tan (60^\circ + \theta) \cdot \tan (60^\circ - \theta)$ を $d = \cos^2 \theta$ を用いて表す。 (3) $\tan 20^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 80^\circ$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の3つです。

(1) $\frac{\tan 3\theta}{\tan \theta}$ を $d = \cos^2 \theta$ を用いて表す。

(2) $\tan (60^\circ + \theta) \cdot \tan (60^\circ - \theta)$ を $d = \cos^2 \theta$ を用いて表す。

(3) $\tan 20^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 80^\circ$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}$ を用いて、

$\frac{\tan 3\theta}{\tan \theta} = \frac{3-\tan^2\theta}{1-3\tan^2\theta}$ となります。

$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1-\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1-d}{d}$ より、

$\frac{\tan 3\theta}{\tan \theta} = \frac{3-\frac{1-d}{d}}{1-3\frac{1-d}{d}} = \frac{3d-1+d}{d-3+3d} = \frac{4d-1}{4d-3}$

(2)

$\tan (60^\circ + \theta) = \frac{\tan 60^\circ + \tan \theta}{1 - \tan 60^\circ \tan \theta} = \frac{\sqrt{3} + \tan \theta}{1 - \sqrt{3} \tan \theta}$

$\tan (60^\circ - \theta) = \frac{\tan 60^\circ - \tan \theta}{1 + \tan 60^\circ \tan \theta} = \frac{\sqrt{3} - \tan \theta}{1 + \sqrt{3} \tan \theta}$

$\tan (60^\circ + \theta) \cdot \tan (60^\circ - \theta) = \frac{3 - \tan^2 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} = \frac{3 - \frac{1-d}{d}}{1 - 3 \frac{1-d}{d}} = \frac{3d - 1 + d}{d - 3 + 3d} = \frac{4d - 1}{4d - 3}$

(3)

$\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ = \tan 20^\circ \tan (60^\circ - 20^\circ) \tan (60^\circ + 20^\circ) = \tan 20^\circ \cdot \frac{\sqrt{3} - \tan 20^\circ}{1 + \sqrt{3} \tan 20^\circ} \cdot \frac{\sqrt{3} + \tan 20^\circ}{1 - \sqrt{3} \tan 20^\circ}$

$= \tan 20^\circ \cdot \frac{3 - \tan^2 20^\circ}{1 - 3 \tan^2 20^\circ} = \tan 20^\circ \cdot \frac{3 - \frac{\sin^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ}}{1 - 3 \frac{\sin^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ}} = \frac{3 \cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ - 3 \sin^2 20^\circ} \cdot \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}$

$\tan (3x) = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x} = \tan x \frac{3 - \tan^2 x}{1 - 3\tan^2 x}$

$\tan(3 \cdot 20^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$

$\sqrt{3} = \tan 20^\circ \cdot \frac{3 - \tan^2 20^\circ}{1 - 3 \tan^2 20^\circ}$

$\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ = \tan 20^\circ \tan (60^\circ - 20^\circ) \tan (60^\circ + 20^\circ)$

$= \tan 20^\circ \cdot \frac{3 - \tan^2 20^\circ}{1 - 3 \tan^2 20^\circ} = \tan (3 \cdot 20^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}/3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4d-1}{4d-3}$

(2) $\frac{4d-1}{4d-3}$

(3) $\frac{\sqrt{3}}{3}$