四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をD、辺OBの中点をE、辺OCを2:1に内分する点をFとする。三角形DEFの重心をGとし、直線OGと平面ABCの交点をPとする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をD、辺OBの中点をE、辺OCを2:1に内分する点をFとする。三角形DEFの重心をGとし、直線OGと平面ABCの交点をPとする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点D, E, Fの位置ベクトルを $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表す。

Dは辺OAを1:2に内分するので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} = \frac{1}{3} \vec{a}$

Eは辺OBの中点なので、

$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2} \vec{b}$

Fは辺OCを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{OF} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OC} = \frac{2}{3} \vec{c}$

次に、三角形DEFの重心Gの位置ベクトル $\overrightarrow{OG}$ を $\overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{OE}$, $\overrightarrow{OF}$ で表す。

$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF}}{3} = \frac{\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}}{3} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}$

点Pは直線OG上にあるので、ある実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{OP} = k \overrightarrow{OG}$ と表せる。

$\overrightarrow{OP} = k \left(\frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}\right) = \frac{k}{9}\vec{a} + \frac{k}{6}\vec{b} + \frac{2k}{9}\vec{c}$

また、点Pは平面ABC上にあるので、ある実数 $s$, $t$ を用いて $\overrightarrow{AP} = s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}$ と表せる。

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC} = \vec{a} + s(\vec{b} - \vec{a}) + t(\vec{c} - \vec{a}) = (1-s-t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

$\overrightarrow{OP}$ は一意に表せるので、

$\frac{k}{9} = 1-s-t$

$\frac{k}{6} = s$

$\frac{2k}{9} = t$

これらを足し合わせると、

$\frac{k}{9} + \frac{k}{6} + \frac{2k}{9} = (1-s-t) + s + t$

$\frac{2k}{18} + \frac{3k}{18} + \frac{4k}{18} = 1$

$\frac{9k}{18} = 1$

$\frac{k}{2} = 1$

$k = 2$

したがって、

$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{2}{6}\vec{b} + \frac{4}{9}\vec{c} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{4}{9}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{4}{9}\vec{c}$