(1) 平面上の点を直線 $y = x$ に関して対称な点に移す一次変換の行列を求めます。 (2) 平面上の点 $(4, -3)$ を、原点を中心として $30^\circ$ 回転した点の座標を求めます。

1. 問題の内容

(1) 平面上の点を直線 $y = x$ に関して対称な点に移す一次変換の行列を求めます。

(2) 平面上の点 $(4, -3)$ を、原点を中心として $30^\circ$ 回転した点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $y = x$ に関して対称な点に移す一次変換の行列を求める。

ある点 $(x, y)$ が $y=x$ に関して対称な点 $(x', y')$ に移るとすると、$x' = y$ かつ $y' = x$ が成り立ちます。したがって、

$$

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}

$$

と表せます。この変換を表す行列を $A$ とすると、

$$

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

$$

となるので、$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ であることがわかります。

(2) 点 $(4, -3)$ を原点を中心に $30^\circ$ 回転した点の座標を求める。

原点を中心に $\theta$ 回転させる行列は

$$

R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}

$$

で表されます。$\theta = 30^\circ$ のとき、

$$

\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}

$$

なので、回転行列は

$$

R(30^\circ) = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}

$$

となります。したがって、点 $(4, -3)$ を原点を中心に $30^\circ$ 回転した点の座標は

$$

\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{3} + \frac{3}{2} \\ 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}

$$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $(2\sqrt{3} + \frac{3}{2}, 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2})$