2つの直線がなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。 (1) $y = -3x$, $y = 2x$ (2) $y = x$, $y = (2 + \sqrt{3})x$

1. 問題の内容

2つの直線がなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。

(1) $y = -3x$, $y = 2x$

(2) $y = x$, $y = (2 + \sqrt{3})x$

2. 解き方の手順

2直線のなす角を求めるには、それぞれの直線の傾きからtanの加法定理を使う方法があります。

直線 $y = m_1 x$ と $y = m_2 x$ がなす角を $\theta$ とすると、

$$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$$

となります。$\theta$ の範囲に注意して計算します。

(1)

$m_1 = -3$, $m_2 = 2$ なので、

$$\tan \theta = \left| \frac{2 - (-3)}{1 + (-3) \cdot 2} \right| = \left| \frac{5}{1 - 6} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = 1$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ なので、

$$\theta = \frac{\pi}{4}$$

(2)

$m_1 = 1$, $m_2 = 2 + \sqrt{3}$ なので、

$$\tan \theta = \left| \frac{2 + \sqrt{3} - 1}{1 + 1 \cdot (2 + \sqrt{3})} \right| = \left| \frac{1 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \right|$$

$$\tan \theta = \left| \frac{(1 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} \right| = \left| \frac{3 - \sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3}{9 - 3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{3}}{6} \right| = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ なので、

$$\theta = \frac{\pi}{6}$$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{6}$