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図の三角形を用いて、$0 < x < 1$ のとき、次の等式を証明せよ。 $\sin^{-1}x = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2}$

幾何学三角関数逆三角関数ピタゴラスの定理証明
2025/6/16

1. 問題の内容

図の三角形を用いて、0<x<10 < x < 1 のとき、次の等式を証明せよ。
sin⁡−1x=cos⁡−11−x2\sin^{-1}x = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2}

2. 解き方の手順

まず、与えられた三角形において、AC=xAC = x, AB=1AB = 1 である。ピタゴラスの定理より、BC=AB2−AC2=1−x2BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{1 - x^2} である。
sin⁡y=ACAB=x1=x\sin y = \frac{AC}{AB} = \frac{x}{1} = x
したがって、y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x である。
次に、
cos⁡y=BCAB=1−x21=1−x2\cos y = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2}
したがって、y=cos⁡−11−x2y = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2} である。
以上より、sin⁡−1x=y=cos⁡−11−x2\sin^{-1}x = y = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2} が成り立つ。

3. 最終的な答え

sin⁡−1x=cos⁡−11−x2\sin^{-1}x = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2}

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