座標平面上に3点 O(0, 0), A(2, 3), B(6, 1) がある。点 P の位置ベクトル $\overrightarrow{OP}$ が $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ で表されるとき、次の条件を満たす点 P の存在範囲を図示せよ。 (1) $s + t = 1$, $s \ge 0$, $t \ge 0$ (2) $2s + 3t \le 1$, $s \ge 0$, $t \ge 0$

1. 問題の内容

座標平面上に3点 O(0, 0), A(2, 3), B(6, 1) がある。点 P の位置ベクトル $\overrightarrow{OP}$ が $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ で表されるとき、次の条件を満たす点 P の存在範囲を図示せよ。

(1) $s + t = 1$, $s \ge 0$, $t \ge 0$

(2) $2s + 3t \le 1$, $s \ge 0$, $t \ge 0$

2. 解き方の手順

(1) $s+t=1$, $s \ge 0$, $t \ge 0$ のとき、これは線分 AB を表す。なぜなら、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ であり、$s+t=1$ であるので、点 P は直線 AB 上に存在する。さらに、$s \ge 0$, $t \ge 0$ より、点 P は線分 AB 上に存在する。

A(2,3), B(6,1) なので、線分 AB を図示する。

(2) $2s + 3t \le 1$, $s \ge 0$, $t \ge 0$ を考える。

$s' = 2s$, $t' = 3t$ とおくと、$s' + t' \le 1$, $s' \ge 0$, $t' \ge 0$ となる。

$\overrightarrow{OA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB'} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$ とおくと、$A' = (1, \frac{3}{2})$, $B' = (2, \frac{1}{3})$ である。

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = \frac{s'}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{t'}{3}\overrightarrow{OB} = s'\overrightarrow{OA'} + t'\overrightarrow{OB'}$

$s' \ge 0, t' \ge 0, s' + t' \le 1$ なので、点 P は O, A', B' を頂点とする三角形 O$A'B'$ の内部及び周上に存在する。

よって、O(0,0), A'(1, 3/2), B'(2, 1/3) を頂点とする三角形 O$A'B'$ の内部及び周上を図示する。

3. 最終的な答え

(1) 線分 AB (A(2, 3), B(6, 1))

(2) O(0,0), A'(1, 3/2), B'(2, 1/3) を頂点とする三角形 O$A'B'$ の内部及び周上