四面体OABCにおいて、OA = AB = 3、OC = 5、CA = 4、∠OAB = 90°、∠BOC = 45°である。 (1) BCの長さを求める。 (2) sin∠BACの値を求める。 (3) 四面体OABCの体積Vを求める。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、OA = AB = 3、OC = 5、CA = 4、∠OAB = 90°、∠BOC = 45°である。

(1) BCの長さを求める。

(2) sin∠BACの値を求める。

(3) 四面体OABCの体積Vを求める。

2. 解き方の手順

(1) BCの長さを求める。

△OABにおいて、三平方の定理より、

$OB^2 = OA^2 + AB^2$

$OB^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$

$OB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

△OBCにおいて、余弦定理より、

$BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2OB \cdot OC \cdot \cos∠BOC$

$BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 5^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos45^\circ$

$BC^2 = 18 + 25 - 30\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$BC^2 = 43 - 30 = 13$

$BC = \sqrt{13}$

(2) sin∠BACの値を求める。

△ABCにおいて、余弦定理より、

$\cos∠BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$

$\cos∠BAC = \frac{3^2 + 4^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \cdot 3 \cdot 4}$

$\cos∠BAC = \frac{9 + 16 - 13}{24}$

$\cos∠BAC = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

よって、∠BAC = 60°

したがって、

$\sin∠BAC = \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) 四面体OABCの体積Vを求める。

△OABを底面と考えると、OA⊥ABであり、底面積Sは

$S = \frac{1}{2}OA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}$

Cから平面OABへの垂線を引いたときの足HがAと一致する場合、体積は、

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot 高さ = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot 4 = 6$

OAに垂直な平面にCから垂線を下ろすと、垂線の足はAになるため、

高さはCA=4となる。

よって、

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot 4 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $BC = \sqrt{13}$

(2) $\sin∠BAC = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $V = 6$