空間内の平面 $\pi: x + y - 2z + 1 = 0$ と点 $A(4, 1, -3)$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。 (1) 点 $A$ を通り、平面 $\pi$ に垂直な直線 $l$ の方程式を求めます。 (2) 直線 $l$ と平面 $\pi$ の交点 $B$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

空間内の平面 $\pi: x + y - 2z + 1 = 0$ と点 $A(4, 1, -3)$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。

(1) 点 $A$ を通り、平面 $\pi$ に垂直な直線 $l$ の方程式を求めます。

(2) 直線 $l$ と平面 $\pi$ の交点 $B$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平面 $\pi$ の法線ベクトルを $\vec{n} = (1, 1, -2)$ とします。直線 $l$ は点 $A(4, 1, -3)$ を通り、$\vec{n}$ に平行なので、直線 $l$ の方程式は媒介変数 $t$ を用いて、

$$(x, y, z) = (4, 1, -3) + t(1, 1, -2) = (4+t, 1+t, -3-2t)$$

と表されます。したがって、直線 $l$ の方程式は、

$$x = 4+t, \quad y = 1+t, \quad z = -3-2t$$

と表されます。

(2) 交点 $B$ の座標は直線 $l$ 上にあるので、その座標を $(4+t, 1+t, -3-2t)$ とおくことができます。

交点 $B$ は平面 $\pi$ 上にもあるので、この座標は平面の方程式 $x + y - 2z + 1 = 0$ を満たします。

よって、

$$(4+t) + (1+t) - 2(-3-2t) + 1 = 0$$

$$4+t + 1+t + 6 + 4t + 1 = 0$$

$$6t + 12 = 0$$

$$6t = -12$$

$$t = -2$$

したがって、交点 $B$ の座標は

$$(4+(-2), 1+(-2), -3-2(-2)) = (2, -1, 1)$$

3. 最終的な答え

(1) 直線 $l$ の方程式: $x = 4+t, \ y = 1+t, \ z = -3-2t$

(2) 交点 $B$ の座標: $(2, -1, 1)$