$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $D$、辺 $CA$ の中点を $E$ とする。直線 $BE$ と $CD$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表し、直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点を $Q$ とするとき、$BQ:QC$ を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $D$、辺 $CA$ の中点を $E$ とする。直線 $BE$ と $CD$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表し、直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点を $Q$ とするとき、$BQ:QC$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が直線 $CD$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて

$\overrightarrow{AP} = (1-s)\overrightarrow{AC} + s\overrightarrow{AD}$

と表せる。ここで、$\overrightarrow{AD} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$ であるから、

$\overrightarrow{AP} = (1-s)\overrightarrow{AC} + \frac{2s}{5}\overrightarrow{AB} = \frac{2s}{5}\overrightarrow{AB} + (1-s)\overrightarrow{AC}$

次に、点 $P$ が直線 $BE$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{AP} = (1-t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AE}$

と表せる。ここで、$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ であるから、

$\overrightarrow{AP} = (1-t)\overrightarrow{AB} + \frac{t}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は一次独立であるから、

$\frac{2s}{5} = 1-t$

$1-s = \frac{t}{2}$

これらの式を解くと、

$2s = 5 - 5t$

$2 - 2s = t$

$2s = 5 - 5(2-2s) = 5 - 10 + 10s$

$8s = 5$

$s = \frac{5}{8}$

$t = 2 - 2s = 2 - 2\left(\frac{5}{8}\right) = 2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$

よって、$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5} \times \frac{5}{8} \overrightarrow{AB} + (1-\frac{5}{8}) \overrightarrow{AC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$

点 $Q$ は直線 $AP$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{AQ} = k\overrightarrow{AP}$ と表せる。

$\overrightarrow{AQ} = k\left(\frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{8}\overrightarrow{AC}\right) = \frac{k}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3k}{8}\overrightarrow{AC}$

また、点 $Q$ は直線 $BC$ 上にあるので、実数 $l$ を用いて $\overrightarrow{AQ} = (1-l)\overrightarrow{AB} + l\overrightarrow{AC}$ と表せる。

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は一次独立であるから、

$\frac{k}{4} = 1-l$

$\frac{3k}{8} = l$

$\frac{k}{4} + \frac{3k}{8} = 1$

$\frac{2k}{8} + \frac{3k}{8} = \frac{5k}{8} = 1$

$k = \frac{8}{5}$

$l = \frac{3}{8}k = \frac{3}{8}\left(\frac{8}{5}\right) = \frac{3}{5}$

したがって、$\overrightarrow{AQ} = \left(1-\frac{3}{5}\right)\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$

点 $Q$ は線分 $BC$ を $3:2$ に内分するので、$BQ:QC = 3:2$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$

$BQ:QC = 3:2$

ア=1, イ=4, ウ=3, エ=8, オ=3