一辺の長さが2の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。 (1) $\cos{\angle AMD}$ の値を求める。 (2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求める。 (3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求め、さらに点Bから平面AENに下ろした垂線の足Hとするとき、線分BHの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。

(1) $\cos{\angle AMD}$ の値を求める。

(2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求める。

(3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求め、さらに点Bから平面AENに下ろした垂線の足Hとするとき、線分BHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABM$と$\triangle CDM$において、$AM = CM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。また、$MD = \sqrt{3}$。$AD = 2$。

$\triangle AMD$に余弦定理を用いると、

$AD^2 = AM^2 + MD^2 - 2 AM \cdot MD \cos{\angle AMD}$

$2^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \sqrt{3} \sqrt{3} \cos{\angle AMD}$

$4 = 3 + 3 - 6 \cos{\angle AMD}$

$6 \cos{\angle AMD} = 2$

$\cos{\angle AMD} = \frac{1}{3}$

(2) Eは直線BCに関してDと対称な点なので、$BE = BD = 2, CE = CD = 2$である。

$\triangle BCE$は正三角形なので、$BC = CE = BE = 2$。

また、$\angle DBC = \angle EBC$。D,Eは平面ABCに関して反対側にあり、D,EはBCに関して線対称である。

$AE$を求めるために、まず$\triangle ABE$について考える。$AB = 2$、$BE = 2$。$\angle ABE$を求める。

正四面体ABCDにおいて、$\angle ABC = \angle ABD = \angle CBD = 60^\circ$なので、$\angle ABE = \angle ABC + \angle CBE = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$。

$\triangle ABE$に余弦定理を用いると、

$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 AB \cdot BE \cos{\angle ABE}$

$AE^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cos{120^\circ}$

$AE^2 = 4 + 4 - 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 4 + 4 + 4 = 12$

$AE = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

(3) NはBDの中点なので、$AN = \sqrt{AB^2 - BN^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。また、$EN = \sqrt{3}$。$AE = 2\sqrt{3}$。

$\triangle AEN$において、$AN = EN = \sqrt{3}$、$AE = 2\sqrt{3}$。これは二等辺三角形である。

点NからAEに下ろした垂線の足をIとすると、$AI = \frac{AE}{2} = \sqrt{3}$。

$NI = \sqrt{AN^2 - AI^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = 0$となってしまう。

これはおかしいので、$\triangle AEN$の面積は計算できない。

$BD = 2, BC=2, DC = 2, NはBDの中点なので、BN = 1$。$\triangle ABNは直角三角形であり、AN = \sqrt{AB^2 - BN^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。同様に$EN = \sqrt{3}$。

$\triangle AEN$は$AN=EN = \sqrt{3}, AE = 2\sqrt{3}$なので二等辺三角形である。底辺AEの中点をIとすると、IはAE上に存在し、AI = EI = $\sqrt{3}$。$NI = 0$のため、NはAE上に存在し、$\triangle AEN$は存在しない。

NはBDの中点なので、Nの座標を原点Oとすると、$B = (-1,0,0), D = (1,0,0)$。$A, C$の座標を適切に設定すれば計算可能である。

(2)より、EはBCに関してDと対称な点であるから、EはCDと線対称。よって、$\angle BEC=60^{\circ}$。Eは直線BCに関してDと対称な点なので、$BE = BD = 2, CE = CD = 2$である。$\triangle BCE$は正三角形なので、$BC = CE = BE = 2$。

$\triangle ABE$について考える。$AB = 2$、$BE = 2$。$\angle ABE = \angle ABC + \angle CBE = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$。

$\triangle ABE$に余弦定理を用いると、$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 AB BE \cos{\angle ABE} = 2^2 + 2^2 - 2 2 2 \cos{120^\circ} = 4 + 4 - 8 (-\frac{1}{2}) = 4+4+4 = 12$。よって、$AE = 2 \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\angle AMD} = \frac{1}{3}$

(2) $AE = 2\sqrt{3}$

(3) $\triangle AEN$の面積と線分BHの長さを求めることは現状できません。