$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ であることを用いて、$\tan{\frac{\pi}{12}}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ であることを用いて、$\tan{\frac{\pi}{12}}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan{\frac{\pi}{12}}$ を $\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6})$ と書き換えます。

次に、タンジェントの加法定理を用います。

$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$

この式に $A = \frac{\pi}{4}$、$B = \frac{\pi}{6}$ を代入します。

$\tan{\frac{\pi}{4}} = 1$ であり、$\tan{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であるから、

$\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{3} - 1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\tan{\frac{\pi}{12}} = 2 - \sqrt{3}$