問題(8)と(9)は、2つの直線のなす角$\theta$を求める問題です。ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$とします。 (8)は、$y=\frac{1}{2}x$と$y=3x$のなす角を求める問題です。 (9)は、$2x-y=2$と$(5\sqrt{3}-8)x-y+3=0$のなす角を求める問題です。

以下に、問題(8)と(9)の解法と答えを示します。

1. 問題の内容

問題(8)と(9)は、2つの直線のなす角$\theta$を求める問題です。ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$とします。

(8)は、$y=\frac{1}{2}x$と$y=3x$のなす角を求める問題です。

(9)は、$2x-y=2$と$(5\sqrt{3}-8)x-y+3=0$のなす角を求める問題です。

2. 解き方の手順

(8)

2直線のなす角の公式：$\tan{\theta} = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}|$を利用します。ただし、$m_1$と$m_2$はそれぞれの直線の傾きを表します。

$y=\frac{1}{2}x$の傾きは$m_1 = \frac{1}{2}$です。

$y=3x$の傾きは$m_2 = 3$です。

$\tan{\theta} = |\frac{\frac{1}{2} - 3}{1 + \frac{1}{2} \cdot 3}| = |\frac{-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}| = |-1| = 1$

$\tan{\theta} = 1$なので、$\theta = \frac{\pi}{4}$です。

(9)

$2x-y=2$より、$y = 2x-2$なので、傾きは$m_1 = 2$です。

$(5\sqrt{3}-8)x-y+3=0$より、$y = (5\sqrt{3}-8)x+3$なので、傾きは$m_2 = 5\sqrt{3}-8$です。

$\tan{\theta} = |\frac{2 - (5\sqrt{3}-8)}{1 + 2(5\sqrt{3}-8)}| = |\frac{10-5\sqrt{3}}{1 + 10\sqrt{3}-16}| = |\frac{10-5\sqrt{3}}{10\sqrt{3}-15}| = |\frac{5(2-\sqrt{3})}{5(2\sqrt{3}-3)}| = |\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-3}|$

$\tan{\theta} = |\frac{(2-\sqrt{3})(2\sqrt{3}+3)}{(2\sqrt{3}-3)(2\sqrt{3}+3)}| = |\frac{4\sqrt{3} + 6 - 6 - 3\sqrt{3}}{12-9}| = |\frac{\sqrt{3}}{3}| = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{3}$なので、$\theta = \frac{\pi}{6}$です。

3. 最終的な答え

(8) $\theta = \frac{\pi}{4}$

(9) $\theta = \frac{\pi}{6}$