三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $BC = 7$, $CA = 8$とする。このとき、$\angle BAC$の大きさと、三角形ABCの外接円の半径Rを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $BC = 7$, $CA = 8$とする。このとき、$\angle BAC$の大きさと、三角形ABCの外接円の半径Rを求める。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$\angle BAC$の大きさを求める。

余弦定理は以下のように表される。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos{\angle BAC}$

与えられた値を代入すると、

$7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos{\angle BAC}$

$49 = 25 + 64 - 80 \cos{\angle BAC}$

$80 \cos{\angle BAC} = 40$

$\cos{\angle BAC} = \frac{1}{2}$

したがって、$\angle BAC = 60^{\circ}$である。

次に、正弦定理を用いて外接円の半径Rを求める。

正弦定理は以下のように表される。

$\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = 2R$

与えられた値を代入すると、

$\frac{7}{\sin{60^{\circ}}} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\angle BAC = 60^{\circ}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$