三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=7$, $CA=8$である。このとき、$\angle BAC$の大きさと、三角形ABCの外接円の半径Rを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=7$, $CA=8$である。このとき、$\angle BAC$の大きさと、三角形ABCの外接円の半径Rを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BAC$の大きさを求めるために、余弦定理を用いる。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos{\angle BAC}$

したがって、

$7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos{\angle BAC}$

$49 = 25 + 64 - 80 \cos{\angle BAC}$

$49 = 89 - 80 \cos{\angle BAC}$

$80 \cos{\angle BAC} = 40$

$\cos{\angle BAC} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

よって、$\angle BAC = 60^\circ$

次に、三角形ABCの外接円の半径Rを求めるために、正弦定理を用いる。

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = 2R$

$\frac{7}{\sin{60^\circ}} = 2R$

$\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{14}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\angle BAC = 60^\circ$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$