円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=CD=2, BC=3, ∠DAB=120°である。 (1) 対角線BDと辺ADの長さを求めよ。 (2) 四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=CD=2, BC=3, ∠DAB=120°である。

(1) 対角線BDと辺ADの長さを求めよ。

(2) 四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 対角線BDの長さを求める。

四角形ABCDは円に内接しているので、∠BCD=180°-∠DAB=180°-120°=60°。

三角形ABDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{120^\circ}$

$BD^2 = 2^2 + AD^2 - 2 \cdot 2 \cdot AD \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 4 + AD^2 + 2AD$

三角形BCDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{60^\circ}$

$BD^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = 9 + 4 - 6 = 7$

したがって $BD = \sqrt{7}$

$4 + AD^2 + 2AD = 7$

$AD^2 + 2AD - 3 = 0$

$(AD + 3)(AD - 1) = 0$

$AD > 0$ より $AD = 1$

(2) 四角形ABCDの面積を求める。

三角形ABDの面積は、

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

三角形BCDの面積は、

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

したがって、四角形ABCDの面積は、

$S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \sqrt{7}, AD = 1$

(2) $2\sqrt{3}$