$OA=6$, $OB=4$, $\angle AOB = 60^\circ$ である $\triangle OAB$ において、頂点 $A$ から辺 $OB$ に下ろした垂線を $AC$, 頂点 $B$ から辺 $OA$ に下ろした垂線を $BD$ とする。線分 $AC$ と線分 $BD$ の交点を $H$ とするとき、$\vec{OH}$ を $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$OA=6$, $OB=4$, $\angle AOB = 60^\circ$ である $\triangle OAB$ において、頂点 $A$ から辺 $OB$ に下ろした垂線を $AC$, 頂点 $B$ から辺 $OA$ に下ろした垂線を $BD$ とする。線分 $AC$ と線分 $BD$ の交点を $H$ とするとき、$\vec{OH}$ を $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$ とする。

$\vec{OH} = s\vec{a} + t\vec{b}$ と表す。

点 $H$ は線分 $BD$ 上にあるので、

$\vec{OH} = (1-k)\vec{OB} + k\vec{OD} = (1-k)\vec{b} + k(l\vec{a})$

となる実数 $k, l$ が存在する。したがって、

$\vec{OH} = kl\vec{a} + (1-k)\vec{b}$

一方、点 $H$ は線分 $AC$ 上にあるので、

$\vec{OH} = (1-m)\vec{OA} + m\vec{OE} = (1-m)\vec{a} + m(n\vec{b})$

となる実数 $m, n$ が存在する。したがって、

$\vec{OH} = (1-m)\vec{a} + mn\vec{b}$

ここで、$k l = s$, $1-k = t$, $1-m = s$, $mn = t$ となる。

$OA=6$, $OB=4$, $\angle AOB=60^{\circ}$ なので、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 60^{\circ} = 6 \times 4 \times \frac{1}{2} = 12$

$BD \perp OA$ より、$\vec{OB} \cdot \vec{OA} = \vec{OB} \cdot \vec{OD} = \vec{OB} \cdot (l\vec{OA})$ となるので、$(\vec{OB} - l\vec{OA}) \cdot \vec{OA} = 0$

$\vec{OB} \cdot \vec{OA} - l|\vec{OA}|^2 = 0$

$12 - l \times 36 = 0$

$l = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

$AC \perp OB$ より、$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \vec{OA} \cdot \vec{OE} = \vec{OA} \cdot (n\vec{OB})$ となるので、$(\vec{OA} - n\vec{OB}) \cdot \vec{OB} = 0$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} - n|\vec{OB}|^2 = 0$

$12 - n \times 16 = 0$

$n = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

$\vec{OH} = kl\vec{a} + (1-k)\vec{b} = (1-m)\vec{a} + mn\vec{b}$

$kl = 1-m$

$1-k = mn$

$k(\frac{1}{3}) = 1-m$

$1-k = m(\frac{3}{4})$

$k = 3(1-m)$

$1 - 3(1-m) = \frac{3}{4}m$

$1 - 3 + 3m = \frac{3}{4}m$

$-2 + 3m = \frac{3}{4}m$

$\frac{9}{4}m = 2$

$m = \frac{8}{9}$

$k = 3(1 - \frac{8}{9}) = 3(\frac{1}{9}) = \frac{1}{3}$

$s = 1 - m = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$

$t = mn = \frac{8}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{3}$

$\vec{OH} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

$\vec{OH} = \frac{1}{9}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

3. 最終的な答え

$\vec{OH} = \frac{1}{9}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$