$\triangle OAB$において、辺$OB$の中点を$M$、辺$AB$を$1:2$に内分する点を$C$、辺$OA$を$2:3$に内分する点を$D$とする。線分$CM$と線分$BD$の交点を$P$とする。 $\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とする。 (1) $\vec{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表せ。 (2) 直線$OP$と辺$AB$の交点を$Q$とするとき、$AQ:QB$を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$OB$の中点を$M$、辺$AB$を$1:2$に内分する点を$C$、辺$OA$を$2:3$に内分する点を$D$とする。線分$CM$と線分$BD$の交点を$P$とする。

$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とする。

(1) $\vec{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表せ。

(2) 直線$OP$と辺$AB$の交点を$Q$とするとき、$AQ:QB$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点$P$は線分$CM$上にあるので、実数$s$を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OC} + s\vec{OM}$

と表せる。ここで$\vec{OC} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$、$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{b}$だから、

$\vec{OP} = (1-s)(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) + s(\frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{2}{3}(1-s)\vec{a} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{3}s + \frac{1}{2}s)\vec{b} = \frac{2}{3}(1-s)\vec{a} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}s)\vec{b}$

点$P$は線分$BD$上にあるので、実数$t$を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OD}$

と表せる。ここで$\vec{OD} = \frac{2}{5}\vec{OA} = \frac{2}{5}\vec{a}$だから、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t(\frac{2}{5}\vec{a}) = \frac{2}{5}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}, \vec{b}$は一次独立なので、

$\frac{2}{3}(1-s) = \frac{2}{5}t$

$\frac{1}{3} + \frac{1}{6}s = 1-t$

これらの連立方程式を解くと、

$1-s = \frac{3}{5}t$

$\frac{1}{6}s = \frac{2}{3} - t$

$s = 4 - 6t$

$1 - (4 - 6t) = \frac{3}{5}t$

$-3 + 6t = \frac{3}{5}t$

$\frac{27}{5}t = 3$

$t = \frac{5}{9}$

$s = 4 - 6(\frac{5}{9}) = 4 - \frac{10}{3} = \frac{2}{3}$

したがって

$\vec{OP} = \frac{2}{5}(\frac{5}{9})\vec{a} + (1-\frac{5}{9})\vec{b} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$

(2)

点$Q$は直線$OP$上にあるので、実数$k$を用いて

$\vec{OQ} = k\vec{OP} = k(\frac{2}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}) = \frac{2k}{9}\vec{a} + \frac{4k}{9}\vec{b}$

点$Q$は直線$AB$上にあるので、実数$l$を用いて

$\vec{OQ} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OB} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b}$

$\vec{a}, \vec{b}$は一次独立なので、

$\frac{2k}{9} = 1-l$

$\frac{4k}{9} = l$

これらの連立方程式を解くと、

$\frac{2k}{9} = 1 - \frac{4k}{9}$

$\frac{6k}{9} = 1$

$k = \frac{3}{2}$

$l = \frac{4}{9}k = \frac{4}{9}(\frac{3}{2}) = \frac{2}{3}$

$\vec{OQ} = (1-\frac{2}{3})\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

よって、点$Q$は線分$AB$を$2:1$に内分する点であるから、$AQ:QB = 2:1$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$

(2) $AQ:QB = 2:1$