一辺の長さが2の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとする。 (1) $\cos{\angle AMD}$の値を求めよ。 (2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求めよ。 (3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求めよ。また、点Bから平面AENに垂線を引き、平面AENとの交点をHとする。線分BHの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとする。

(1) $\cos{\angle AMD}$の値を求めよ。

(2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求めよ。

(3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求めよ。また、点Bから平面AENに垂線を引き、平面AENとの交点をHとする。線分BHの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle AMD$において、余弦定理を用いる。

$AM = DM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$

$AD = 2$

よって、

$\cos{\angle AMD} = \frac{AM^2 + DM^2 - AD^2}{2 \cdot AM \cdot DM} = \frac{3 + 3 - 4}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

(2) 点Eは直線BCに関して点Dと対称なので、$DE \perp BC$ かつ $BM = MC$を満たす。よって、$DM = EM$である。

$EM = DM = \sqrt{3}$

$BC = 2$であり、$BC$上に$M$があるので$CM = 1$である。

$\triangle ACE$において余弦定理を用いる。

$AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2 \cdot AC \cdot CE \cdot \cos{\angle ACB}$

$AC = 2$

$CE = \sqrt{EM^2+MC^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$

$\angle ACB = 60^\circ$より、$\cos{\angle ACB} = \frac{1}{2}$

$AE^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 4 + 4 - 4 = 4$

$AE = \sqrt{4} = 2$

(3) $N$は$BD$の中点なので、$AN = \sqrt{AB^2 - BN^2} = \sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$

$EN = \sqrt{DE^2+DN^2} = \sqrt{ (\sqrt{3})^2 +1^2} = \sqrt{4} = 2$

$\triangle AEN$ において、ヘロンの公式を使う。

$s = \frac{AE + AN + EN}{2} = \frac{2 + \sqrt{3} + 2}{2} = \frac{4 + \sqrt{3}}{2}$

$\triangle AEN = \sqrt{s(s-AE)(s-AN)(s-EN)} = \sqrt{\frac{4 + \sqrt{3}}{2} (\frac{4 + \sqrt{3}}{2} - 2) (\frac{4 + \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}) (\frac{4 + \sqrt{3}}{2} - 2)}$

$= \sqrt{\frac{4 + \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{4 - \sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{\sqrt{3}}{4} \sqrt{16-3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \sqrt{13} = \frac{\sqrt{39}}{4}$

$\triangle AEN$の面積は $\frac{\sqrt{39}}{4}$。

$BH \perp$ 平面$AEN$なので、四面体$BAEN$の体積を考える。

四面体$ABCD$の体積は$\frac{1}{3} \cdot (2 \cdot 2 \cdot \sin{60^\circ}) \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{1}{3} \sqrt{3} \cdot \frac{2 \sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{18}}{9} = \frac{6\sqrt{2}}{9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

四面体 $BAEN$ の体積は、四面体 $DABC$の体積の $\frac{1}{2}$ なので、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

四面体 $BAEN$の体積$= \frac{1}{3} \cdot \triangle AEN \cdot BH$より、

$\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{39}}{4} \cdot BH$

$BH = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{39}} = \frac{4\sqrt{78}}{39}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\angle AMD} = \frac{1}{3}$

(2) $AE = 2$

(3) $\triangle AEN = \frac{\sqrt{39}}{4}$, $BH = \frac{4\sqrt{78}}{39}$