一辺の長さが2の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。 (1) $\cos{\angle AMD}$ の値を求める。 (2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求める。 (3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求め、点Bから平面AENに垂線を下ろし、平面AENとの交点をHとする。線分BHの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。

(1) $\cos{\angle AMD}$ の値を求める。

(2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求める。

(3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求め、点Bから平面AENに垂線を下ろし、平面AENとの交点をHとする。線分BHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABM$と$\triangle CDM$において、$AM = DM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$. $AD = 2$. 余弦定理より、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2AM \cdot DM \cos{\angle AMD}$

$2^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cos{\angle AMD}$

$4 = 3 + 3 - 6 \cos{\angle AMD}$

$6 \cos{\angle AMD} = 2$

$\cos{\angle AMD} = \frac{1}{3}$

(2) 点Eは直線BCに関して点Dと対称なので、$BE = BD = 2$, $CE = CD = 2$. $\triangle BCE$は正三角形なので、$BE = CE = BC = 2$.

点MはBCの中点なので、$EM \perp BC$ かつ $DM \perp BC$. また、$EM = DM = \sqrt{3}$.

$\triangle DEM$は$DE = 2DM = 2 \sqrt{3}$の二等辺三角形。

$\angle DME = 0$ より、DE=0となるはずだが、BCに関して点Dと点Eが対称であることから、

DEはBCと垂直でBCを2等分する。DM = EM = $\sqrt{3}$.

DE =

2.

点Aから直線BCに垂線を下ろし、交点をPとする。PはBCの中点なのでPはMと一致。

$AM = \sqrt{3}$. また、$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 AB \cdot BE \cos{\angle ABE}$.

$\angle ABE$を求める。$\triangle ABC$は正三角形で、$\angle ABC = 60^\circ$. $\triangle BCE$も正三角形で、$\angle CBE = 60^\circ$.

よって、$\angle ABE = \angle ABC + \angle CBE = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

$AE^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cos{120^\circ} = 4 + 4 - 8 (-\frac{1}{2}) = 8 + 4 = 12$.

$AE = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$.

(3) $N$は$BD$の中点なので、$BN = ND = 1$.

$AN = \sqrt{AB^2 - BN^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.

$EN = \sqrt{BE^2 - BN^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.

$\triangle AEN$は$AN = EN = \sqrt{3}$の二等辺三角形。

$AE = 2\sqrt{3}$ より、$\triangle AEN$の面積を求める。

AからENに垂線を下ろすと、それはNを通る。よってNからAEへの垂線の長さを求める。

$AM = \sqrt{3}$ より、$MN = 1$.

$\triangle AEN$ の面積 = $\frac{1}{2} \times AE \times h = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 1 = \sqrt{3}$.

点Bから平面AENに下ろした垂線の足をHとする。$\triangle AEN$の面積を体積を利用して求める。

正四面体の体積 = $\frac{\sqrt{2}}{12} a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} 2^3 = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

四面体BAENの体積を2通りで表す。

四面体BAEN = $\frac{1}{3} (\triangle AEN) BH$.

点Dから平面ABCへの距離は、正四面体の高さなので、$\frac{\sqrt{6}}{3} a = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

点NはBDの中点なので、点Nから平面ABCまでの距離は $\frac{1}{2} \times \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

四面体AENBの体積 = $\frac{1}{2}$ 四面体ABCD の体積。

$BH = h$.

$\frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times h = \frac{1}{2} \times (\frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

$h = \frac{\sqrt{2}}{3} \times \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

$BH = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\angle AMD} = \frac{1}{3}$

(2) $AE = 2\sqrt{3}$

(3) $\triangle AEN$の面積 = $\sqrt{3}$. 線分BHの長さ = $\frac{\sqrt{6}}{3}$