加法定理を用いて、$\cos 75^{\circ}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

加法定理を用いて、$\cos 75^{\circ}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\cos 75^{\circ}$ の値を加法定理を使って計算します。

$75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ}$ と分解し、$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ の公式を使います。

まず、$A = 45^{\circ}$、$B = 30^{\circ}$ とすると、

$\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\cos 75^{\circ} = \cos(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}$

$\cos 75^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$\cos 75^{\circ} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos 75^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$