円に内接する四角形ABCDがあり、AB=CD=2, BC=3, ∠DAB=120°である。対角線BDと辺ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、AB=CD=2, BC=3, ∠DAB=120°である。対角線BDと辺ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて線分BDの長さをADを用いて表す。

$\angle DAB = 120^{\circ}$ なので、$\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$。したがって、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 120^{\circ}$

$BD^2 = 2^2 + AD^2 - 2 \cdot 2 \cdot AD \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 4 + AD^2 + 2AD$

次に、四角形ABCDは円に内接するので、$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle DAB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$。

再び余弦定理を用いて線分BDの長さを表す。

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos 60^{\circ}$

$BD^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = 9 + 4 - 6 = 7$

よって、$BD = \sqrt{7}$。

これを用いて、最初の式に代入すると、

$7 = 4 + AD^2 + 2AD$

$AD^2 + 2AD - 3 = 0$

$(AD + 3)(AD - 1) = 0$

$AD = -3, 1$

AD > 0 より、$AD = 1$

3. 最終的な答え

$BD = \sqrt{7}$

$AD = 1$