円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = 3x + k$ が接するとき、定数 $k$ の値と接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = 3x + k$ が接するとき、定数 $k$ の値と接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円の方程式に直線の式を代入して、$x$ についての2次方程式を得ます。

$x^2 + (3x+k)^2 = 10$

$x^2 + 9x^2 + 6kx + k^2 = 10$

$10x^2 + 6kx + k^2 - 10 = 0$

円と直線が接するということは、この2次方程式が重解を持つということです。したがって、判別式 $D$ が0になるはずです。

$D = (6k)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (k^2 - 10) = 0$

$36k^2 - 40(k^2 - 10) = 0$

$36k^2 - 40k^2 + 400 = 0$

$-4k^2 + 400 = 0$

$4k^2 = 400$

$k^2 = 100$

$k = \pm 10$

次に、$k$ の値それぞれについて、接点の $x$ 座標を求めます。

$k = 10$ のとき、$10x^2 + 60x + 100 - 10 = 0$

$10x^2 + 60x + 90 = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x + 3)^2 = 0$

$x = -3$

このとき、$y = 3x + k = 3(-3) + 10 = -9 + 10 = 1$

よって、接点は $(-3, 1)$

$k = -10$ のとき、$10x^2 - 60x + 100 - 10 = 0$

$10x^2 - 60x + 90 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x = 3$

このとき、$y = 3x + k = 3(3) - 10 = 9 - 10 = -1$

よって、接点は $(3, -1)$

3. 最終的な答え

$k = 10$ のとき、接点は $(-3, 1)$

$k = -10$ のとき、接点は $(3, -1)$