縦、横、高さが $a, b, c$ の直方体がある。直方体の各面を赤、青、黄、緑、白、黒の6色全てを用いて塗る。以下の条件のとき、塗り方は何通りあるか。 (1) $a=b=c$ (立方体) (2) $a = b \neq c$

1. 問題の内容

縦、横、高さが $a, b, c$ の直方体がある。直方体の各面を赤、青、黄、緑、白、黒の6色全てを用いて塗る。以下の条件のとき、塗り方は何通りあるか。

(1) $a=b=c$ (立方体)

(2) $a = b \neq c$

2. 解き方の手順

(1) $a=b=c$ の場合、立方体である。

まず、底面を塗る色を6色から選ぶ。これは6通り。

次に、上面を塗る色を残り5色から選ぶ。これは5通り。

残りの4つの側面は、円順列と同様に考える。4色を並べる順列は $4! = 24$通りだが、立方体を回転させると同じになるものがあるので、4で割る必要がある。つまり、 $(4-1)! = 3! = 6$通り。

したがって、$6 \times 5 \times 6 = 180$ 通り。

(2) $a = b \neq c$ の場合、直方体である。

まず、$a=b$の面を塗る2色を選ぶ。これは $6 \times 5 = 30$ 通り。ただし、2色を決める順番は関係ないので、$30 / 2 = 15$ 通り。

次に、$c$ の面を塗る2色を選ぶ。これは残り4色から2色を選ぶので、$4 \times 3 = 12$ 通り。同様に順番は関係ないので、$12 / 2 = 6$ 通り。

最後に残りの2色で残りの2つの面を塗る。これは $2! = 2$ 通り。

したがって、$15 \times 6 \times 2 = 180$ 通り。ただし、この直方体は、$c$軸で180度回転させると同じになる。なので、全体を2で割る必要はない。

隣り合う面の色を固定すると、回転で一致するパターンがなくなるので、

$c$の面を塗る色を決めた時に、そのどちらかの色を特定の位置に固定すると、残りの面の色の塗り方は一意に決まる。

$a=b$の面の一つの色を特定の位置に固定すると、同様に残りの面の色の塗り方は一意に決まる。

3. 最終的な答え

(1) 180 通り

(2) 180 通り