3点A(3, 1), B(-2, 5), C(4, -1)が与えられているとき、以下のベクトルを成分表示し、その大きさを求めよ。 (1) $\overrightarrow{AB}$ (2) $\overrightarrow{AC}$ (3) $\overrightarrow{BC}$ (4) $\overrightarrow{CA}$

1. 問題の内容

3点A(3, 1), B(-2, 5), C(4, -1)が与えられているとき、以下のベクトルを成分表示し、その大きさを求めよ。

(1) $\overrightarrow{AB}$

(2) $\overrightarrow{AC}$

(3) $\overrightarrow{BC}$

(4) $\overrightarrow{CA}$

2. 解き方の手順

ベクトルの成分表示は、終点の座標から始点の座標を引くことで求められる。ベクトルの大きさは、各成分の二乗の和の平方根で求められる。

(1) $\overrightarrow{AB}$ の場合：

成分表示は、$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$ で求められる。

$\overrightarrow{AB} = (-2 - 3, 5 - 1) = (-5, 4)$

ベクトルの大きさ $|\overrightarrow{AB}|$ は、$\sqrt{(-5)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$

(2) $\overrightarrow{AC}$ の場合：

成分表示は、$\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A)$ で求められる。

$\overrightarrow{AC} = (4 - 3, -1 - 1) = (1, -2)$

ベクトルの大きさ $|\overrightarrow{AC}|$ は、$\sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

(3) $\overrightarrow{BC}$ の場合：

成分表示は、$\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B)$ で求められる。

$\overrightarrow{BC} = (4 - (-2), -1 - 5) = (6, -6)$

ベクトルの大きさ $|\overrightarrow{BC}|$ は、$\sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

(4) $\overrightarrow{CA}$ の場合：

成分表示は、$\overrightarrow{CA} = (x_A - x_C, y_A - y_C)$ で求められる。

$\overrightarrow{CA} = (3 - 4, 1 - (-1)) = (-1, 2)$

ベクトルの大きさ $|\overrightarrow{CA}|$ は、$\sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AB} = (-5, 4)$, $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{41}$

(2) $\overrightarrow{AC} = (1, -2)$, $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{5}$

(3) $\overrightarrow{BC} = (6, -6)$, $|\overrightarrow{BC}| = 6\sqrt{2}$

(4) $\overrightarrow{CA} = (-1, 2)$, $|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{5}$