$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $P$ とする。線分 $AP$ を $(1-t):t$ ($0<t<1$) に内分する点を $Q$ とする。等式 $4\overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{BQ} + 2\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{0}$ が成り立つとき、$t$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $P$ とする。線分 $AP$ を $(1-t):t$ ($0<t<1$) に内分する点を $Q$ とする。等式 $4\overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{BQ} + 2\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{0}$ が成り立つとき、$t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AQ}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表す。

点 $P$ は辺 $BC$ を $2:1$ に内分するので、

$\overrightarrow{AP} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{AB} + 2 \cdot \overrightarrow{AC}}{2+1} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

点 $Q$ は線分 $AP$ を $(1-t):t$ に内分するので、

$\overrightarrow{AQ} = (1-t)\overrightarrow{AP} = (1-t)\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right) = \frac{1-t}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2(1-t)}{3}\overrightarrow{AC}$

次に、$\overrightarrow{BQ}$ と $\overrightarrow{CQ}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表す。

$\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AB} = \left(\frac{1-t}{3} - 1\right)\overrightarrow{AB} + \frac{2(1-t)}{3}\overrightarrow{AC} = \frac{-2-t}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2-2t}{3}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AC} = \frac{1-t}{3}\overrightarrow{AB} + \left(\frac{2(1-t)}{3} - 1\right)\overrightarrow{AC} = \frac{1-t}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{-1-2t}{3}\overrightarrow{AC}$

与えられた式 $4\overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{BQ} + 2\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{0}$ に代入する。

$4\left(\frac{1-t}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2(1-t)}{3}\overrightarrow{AC}\right) + \left(\frac{-2-t}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2-2t}{3}\overrightarrow{AC}\right) + 2\left(\frac{1-t}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{-1-2t}{3}\overrightarrow{AC}\right) = \overrightarrow{0}$

$\frac{4(1-t)-2-t+2(1-t)}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{8(1-t)+2-2t-2-4t}{3}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$\frac{4-4t-2-t+2-2t}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{8-8t+2-2t-2-4t}{3}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$\frac{4-7t}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{8-14t}{3}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$(4-7t)\overrightarrow{AB} + (8-14t)\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は一次独立なので、それぞれの係数が0になる。

$4-7t = 0$ かつ $8-14t = 0$

$7t = 4$ より $t = \frac{4}{7}$

$14t = 8$ より $t = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$

よって $t = \frac{4}{7}$

3. 最終的な答え

$t = \frac{4}{7}$