$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点を $M$ とし、辺 $OB$ を $3:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とし、直線 $OP$ と辺 $AB$ の交点を $Q$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とおくとき、$\overrightarrow{OP}$ および $\overrightarrow{OQ}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点を $M$ とし、辺 $OB$ を $3:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とし、直線 $OP$ と辺 $AB$ の交点を $Q$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とおくとき、$\overrightarrow{OP}$ および $\overrightarrow{OQ}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OP}$ について:

点 $P$ は線分 $AN$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{ON} = (1-s)\vec{a} + s\frac{3}{5}\vec{b}$

と表せる。

点 $P$ は線分 $BM$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = t\overrightarrow{OM} + (1-t)\overrightarrow{OB} = t\frac{1}{3}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

と表せる。

したがって、

$(1-s)\vec{a} + \frac{3}{5}s\vec{b} = \frac{1}{3}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{1}{3}t$

$\frac{3}{5}s = 1-t$

この連立方程式を解く。

$3 - 3s = t$

$\frac{3}{5}s = 1 - (3-3s) = -2 + 3s$

$\frac{3}{5}s - 3s = -2$

$\frac{3-15}{5}s = -2$

$-\frac{12}{5}s = -2$

$s = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

$t = 3 - 3s = 3 - 3\cdot\frac{5}{6} = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$

よって、$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{5}{6})\vec{a} + \frac{5}{6}\cdot\frac{3}{5}\vec{b} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

または、$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\vec{a} + (1-\frac{1}{2})\vec{b} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(2) $\overrightarrow{OQ}$ について:

点 $Q$ は直線 $OP$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて

$\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OP} = k(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{k}{6}\vec{a} + \frac{k}{2}\vec{b}$

と表せる。

点 $Q$ は直線 $AB$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて

$\overrightarrow{OQ} = (1-u)\overrightarrow{OA} + u\overrightarrow{OB} = (1-u)\vec{a} + u\vec{b}$

と表せる。

したがって、

$\frac{k}{6}\vec{a} + \frac{k}{2}\vec{b} = (1-u)\vec{a} + u\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{k}{6} = 1-u$

$\frac{k}{2} = u$

この連立方程式を解く。

$\frac{k}{6} = 1 - \frac{k}{2}$

$\frac{k}{6} + \frac{3k}{6} = 1$

$\frac{4k}{6} = 1$

$k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

よって、$\overrightarrow{OQ} = \frac{3}{2}(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$