問題5は、正三角形と長方形を組み合わせた五角形の周の長さ $l$ に関する問題です。 (1) 長方形の横の長さ $b$ を、正三角形の一辺の長さ $a$ と周の長さ $l$ を用いて表します。 (2) $a = 8$, $l = 30$ のとき、$b$ の値を求めます。 問題6は、自然数を規則的に並べた表において、斜めに4つの数を囲んだ時の和が4の倍数になることを、文字を使って説明する問題です。

1. 問題の内容

問題5は、正三角形と長方形を組み合わせた五角形の周の長さ $l$ に関する問題です。

(1) 長方形の横の長さ $b$ を、正三角形の一辺の長さ $a$ と周の長さ $l$ を用いて表します。

(2) $a = 8$, $l = 30$ のとき、$b$ の値を求めます。

問題6は、自然数を規則的に並べた表において、斜めに4つの数を囲んだ時の和が4の倍数になることを、文字を使って説明する問題です。

2. 解き方の手順

問題5 (1)

五角形の周の長さ $l$ は、正三角形の2辺 ($a$ が2つ) と、長方形の横の長さ ($b$ が1つ) と縦の長さ ($a$ が2つ) の和で表されます。ただし、正三角形と長方形が重なっている部分は周の長さに含まれません。したがって、

$l = 2a + b + 2b + a$

$l = 3a + 3b$

$b$ について解くと、

$3b = l - 3a$

$b = \frac{l - 3a}{3}$

問題5 (2)

(1) で求めた式に、$a = 8$ と $l = 30$ を代入します。

$b = \frac{30 - 3 \times 8}{3}$

$b = \frac{30 - 24}{3}$

$b = \frac{6}{3}$

$b = 2$

問題6

表の中で、斜めに並んだ4つの数を考えます。左上の数を $n$ とすると、他の3つの数はそれぞれ $n + 6$, $n + 12$, $n + 18$ と表すことができます。

これらの和は、

$n + (n + 6) + (n + 12) + (n + 18) = 4n + 36 = 4(n + 9)$

これは4の倍数であることがわかります。

3. 最終的な答え

問題5 (1): $b = \frac{l - 3a}{3}$

問題5 (2): $b = 2$

問題6:

斜めに並んだ4つの数を左上の数 $n$ を用いて $n$, $n + 6$, $n + 12$, $n + 18$ と表すと、これらの和は $4n + 36 = 4(n + 9)$ となり、4の倍数である。