(1) 中心と半径が与えられた円の方程式を求める問題が3問あります。 (2) 与えられた方程式がどのような図形を表すかを答える問題が4問あります。

1. 問題の内容

(1) 中心と半径が与えられた円の方程式を求める問題が3問あります。

(2) 与えられた方程式がどのような図形を表すかを答える問題が4問あります。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式は、中心が$(a, b)$、半径が$r$のとき、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

で表されます。これを利用して、与えられた中心と半径から円の方程式を求めます。

(2) 与えられた方程式を円の方程式の標準形に変形することで、どのような図形を表すか判断します。

標準形は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ の形になります。このとき、

* $r^2 > 0$ ならば、中心$(a, b)$、半径$r$の円を表します。

* $r^2 = 0$ ならば、点$(a, b)$を表します。

* $r^2 < 0$ ならば、図形を表しません。

(1) の問題の解答

① 中心が$(3, 4)$、半径が$6$なので、

$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 6^2$

$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 36$

② 中心が$(-2, 6)$、半径が$2\sqrt{3}$なので、

$(x - (-2))^2 + (y - 6)^2 = (2\sqrt{3})^2$

$(x + 2)^2 + (y - 6)^2 = 12$

③ 中心が$(0, 0)$、半径が$5$なので、

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$

$x^2 + y^2 = 25$

(2) の問題の解答

① $x^2 + y^2 - 4x + 8y + 4 = 0$

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 8y) + 4 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 8y + 16) + 4 - 4 - 16 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 16$

これは中心$(2, -4)$、半径$4$の円を表します。

② $x^2 + y^2 - 4x = 0$

$(x^2 - 4x) + y^2 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + y^2 - 4 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

これは中心$(2, 0)$、半径$2$の円を表します。

③ $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 20 = 0$

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) - 20 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) - 20 - 1 - 4 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$

これは中心$(-1, 2)$、半径$5$の円を表します。

④ $x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = 0$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) - 4 - 9 = 0$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$

これは中心$(-2, 3)$、半径$\sqrt{13}$の円を表します。

3. 最終的な答え

(1)

① $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 36$

② $(x + 2)^2 + (y - 6)^2 = 12$

③ $x^2 + y^2 = 25$

(2)

① 中心$(2, -4)$、半径$4$の円

② 中心$(2, 0)$、半径$2$の円

③ 中心$(-1, 2)$、半径$5$の円

④ 中心$(-2, 3)$、半径$\sqrt{13}$の円