3点 $A(-1, -1, 2)$, $B(5, 1, 3)$, $C(2, -1, 4)$ で定まる平面ABC上に点 $P(x, 3, -2)$ があるとき、$x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 $A(-1, -1, 2)$, $B(5, 1, 3)$, $C(2, -1, 4)$ で定まる平面ABC上に点 $P(x, 3, -2)$ があるとき、$x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pが平面ABC上にあるということは、ベクトル $\vec{AP}$ がベクトル $\vec{AB}$ とベクトル $\vec{AC}$ の線形結合で表せるということです。つまり、実数 $s$, $t$ を用いて

$$$$

\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}

$$$$

と表せます。

まず、各ベクトルを計算します。

\begin{align*}

\vec{AP} &= \begin{pmatrix} x - (-1) \\ 3 - (-1) \\ -2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+1 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} \\

\vec{AB} &= \begin{pmatrix} 5 - (-1) \\ 1 - (-1) \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \\

\vec{AC} &= \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ -1 - (-1) \\ 4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}

\end{align*}

これらのベクトルを $\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ に代入すると、

$$$$

\begin{pmatrix} x+1 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6s+3t \\ 2s \\ s+2t \end{pmatrix}

$$$$

これにより、以下の連立方程式が得られます。

\begin{align*}

x+1 &= 6s+3t \\

4 &= 2s \\

-4 &= s+2t

\end{align*}

2番目の式から、$s = 2$ が得られます。

これを3番目の式に代入すると、

$$$$

-4 = 2 + 2t \implies 2t = -6 \implies t = -3

$$$$

$s = 2$ と $t = -3$ を1番目の式に代入すると、

\begin{align*}

x+1 &= 6(2) + 3(-3) \\

x+1 &= 12 - 9 \\

x+1 &= 3 \\

x &= 2

\end{align*}

3. 最終的な答え

$x = 2$