三角形ABCにおいて、辺BC, CA, ABの長さをそれぞれa, b, cとする。$\frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7}$であり、面積が$3\sqrt{15}$のとき、cosAとaを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC, CA, ABの長さをそれぞれa, b, cとする。$\frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7}$であり、面積が$3\sqrt{15}$のとき、cosAとaを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた比の式から、各辺の長さを定数kを用いて表します。

$\frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7}=k$とおくと、

$a+b=6k$

$b+c=5k$

$c+a=7k$

これらの式を全て足し合わせると、

$2(a+b+c)=18k$

$a+b+c=9k$

これと上記の式から、

$c = (a+b+c) - (a+b) = 9k - 6k = 3k$

$a = (a+b+c) - (b+c) = 9k - 5k = 4k$

$b = (a+b+c) - (c+a) = 9k - 7k = 2k$

よって、$a:b:c = 4:2:3$となります。

$a=4k$, $b=2k$, $c=3k$と表せます。

次に、三角形の面積の公式を用います。三角形の面積をSとすると、

$S = \frac{1}{2}bc\sin A$

$3\sqrt{15} = \frac{1}{2}(2k)(3k)\sin A$

$3\sqrt{15} = 3k^2 \sin A$

$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{k^2}$

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$(4k)^2 = (2k)^2 + (3k)^2 - 2(2k)(3k)\cos A$

$16k^2 = 4k^2 + 9k^2 - 12k^2\cos A$

$3k^2 = -12k^2\cos A$

$\cos A = -\frac{1}{4}$

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$より、

$\sin^2 A = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{k^2}$なので、$\frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{k^2}$

$k^2 = 4$

$k = 2$ (k>0)

したがって、$a = 4k = 4(2) = 8$

3. 最終的な答え

$\cos A = -\frac{1}{4}$

$a = 8$