四面体OABCにおいて、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、以下の点の位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。 (1) 線分OAを3:2に内分する点P (2) 線分ABの中点Q (3) 線分BCを3:1に外分する点R (4) 三角形PQRの重心G

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、以下の点の位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

(1) 線分OAを3:2に内分する点P

(2) 線分ABの中点Q

(3) 線分BCを3:1に外分する点R

(4) 三角形PQRの重心G

2. 解き方の手順

(1) 線分OAを3:2に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、内分点の公式より

$\vec{p} = \frac{2\vec{OA} + 3\vec{OO}}{3+2} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{0}}{5} = \frac{2}{5}\vec{a}$

(2) 線分ABの中点Qの位置ベクトル$\vec{q}$は、中点の公式より

$\vec{q} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

(3) 線分BCを3:1に外分する点Rの位置ベクトル$\vec{r}$は、外分点の公式より

$\vec{r} = \frac{-\vec{OB} + 3\vec{OC}}{3-1} = \frac{-\vec{b} + 3\vec{c}}{2} = \frac{3}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b}$

(4) 三角形PQRの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$は、重心の公式より

$\vec{g} = \frac{\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{3} = \frac{\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{3\vec{c} - \vec{b}}{2}}{3} = \frac{\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{3}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b}}{3} = \frac{(\frac{2}{5} + \frac{1}{2})\vec{a} + (\frac{1}{2}-\frac{1}{2})\vec{b} + \frac{3}{2}\vec{c}}{3} = \frac{\frac{4+5}{10}\vec{a} + 0\vec{b} + \frac{3}{2}\vec{c}}{3} = \frac{\frac{9}{10}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{c}}{3} = \frac{3}{10}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = \frac{2}{5}\vec{a}$

(2) $\vec{q} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(3) $\vec{r} = -\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{3}{2}\vec{c}$

(4) $\vec{g} = \frac{3}{10}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$